Matematyka.pl

Mam do rozwiąznie pare zadane. Mam nadzieje, że ktoś mi pomoże THX

1. W trójkącie ABC dane są: \(\displaystyle{ AC=5, =75^\circ, \beta=45^\circ}\). Wyznaczyć długość odcinka AB.
2. W trójkącie ABC dwusieczna kąta C przecina bok AB w punkcie \(\displaystyle{ C_1}\) takim, że \(\displaystyle{ AC_1=3}\) oraz \(\displaystyle{ C_1B=2}\). Wyznaczyć boki tego trójkąta i \(\displaystyle{ \gamma}\) wiedząc, że AC=6.
3. W trójkącie ABC dane są: \(\displaystyle{ \alpha=60^\circ, AC=2, BC=\sqrt{3}}\). Wyznaczyć pozostałe boki i kąty trójkąta.
4. W tórjkącie ABC dane są: \(\displaystyle{ BC=6, AC=7}\) oraz \(\displaystyle{ \gamma=60^\circ}\). Oblicz długość boku AB oraz wysokości prowadzonej z wierzchołka C.
5. Znaleźć wszystkie boki i kąty trójkąta ABC mając dane \(\displaystyle{ AB=16. BC=8, \beta=60^\circ}\)
6. Dane są długości trzech boków trójkąta równe: 3, 4, 6. Oblicz cosinusy kątów tego trójkąta.
7. W trójkącie ABC dane są: \(\displaystyle{ BC=4, =30^\circ, \beta=45^\circ}\). Wyznaczyć bok AC oraz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
8. Wyznaczyć pole trójkąta ABC mając dane: \(\displaystyle{ AB=4, =30^\circ, \beta=105^\circ}\)
9. Znaleźć wszystkie kąty trójkąta ABC wiedząc, że długość wysokości opuszczonej z wierzchołka C wynosi 2 oraz \(\displaystyle{ AC=4, BC= 2\sqrt2}\)
10. W trójkącie ABC dane są: \(\displaystyle{ AB=6, AC=6\sqrt{\frac{2}{3}}, \gamma=60^\circ}\). Wyznaczyć długość boku BC.

1. Skorzystaj z twierdzenia sinusów.
2. Skorzystaj z twierdzenia o dwusiecznej + wzoru na pole np. Heron+\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ab\sin\alpha}\).
3. Skorzystaj z twierdzenia cosinusów.
4. Twierdzenie sinusów + definicja sinusa.
5. Twierdzenie sinusów.
6. Twierdzenie cosinusów.
7. Twierdzenie sinusów.
8. Twierdzenie sinusów + \(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha}\).
9. Twierdzenie Pitagorasa + twierdzenie cosinusów.
10. Twierdzenie sinusów.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

Tomasz Rużycki pisze:1. Skorzystaj z twierdzenia sinusów.
2. Skorzystaj z twierdzenia o dwusiecznej + wzoru na pole np. Heron+\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ab\sin\alpha}\).
3. Skorzystaj z twierdzenia cosinusów.
4. Twierdzenie sinusów + definicja sinusa.
5. Twierdzenie sinusów.
6. Twierdzenie cosinusów.
7. Twierdzenie sinusów.
8. Twierdzenie sinusów + \(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha}\).
9. Twierdzenie Pitagorasa + twierdzenie cosinusów.
10. Twierdzenie sinusów.

Tomek Rużycki

wszystko ok, ale nie mogę sobie poradzić z nr. 4 i 8 i 9 - czy mógłbyś mi pomóc je rozwiązać? bo kurde robie i robie i coś mi się nie zgadza. Czy mógłbyś lub mógłby je ktoś rozwiązać na forum? thx

Będzie, że znów się czepiam, ale dobrze by było wiedzieć, gdzie są te kąty, bo to jest ważne. Możemy przyjąć konwencję, że przy wierzchołku A znajduje się kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) itd., ale to wszystko kwestia umowy.

olazola pisze:Będzie, że znów się czepiam, ale dobrze by było wiedzieć, gdzie są te kąty, bo to jest ważne. Możemy przyjąć konwencję, że przy wierzchołku A znajduje się kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) itd., ale to wszystko kwestia umowy.

"czepiam" -

\(\displaystyle{ \alpha}\) -> wierzchołek A
\(\displaystyle{ \beta}\) -> wierzchołek B
\(\displaystyle{ \gamma}\) -> wierzchołek C

thx za pomoc

4) Długość odcinka |AB| obliczasz bezpośrednio z tw. cosinusów. Jak już to obliczysz to można obliczyć pole ze wzoru \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}absin\alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem zawartym między bokami a i b, no i tutaj wystarczy tylko podstawic do wzoru, z drugiej strony rozpisujesz pole jako \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}|AB|h}\), przyrównujesz i obliczasz h.

8) Z tw. sinusów mamy: \(\displaystyle{ \frac{4}{sin 45^{\circ}}=\frac{|BC|}{sin 30^{\circ}}}\)
a dalej pole wyliczasz tak jak w poprzednim zadaniu.

9) tutaj korzystamy tylko z własności sinusa:
\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{2}{4}\to =30^{\circ}}\)
kąt beta tak samo a ostatni to wiadomo

olazola pisze:9) tutaj korzystamy tylko z własności sinusa:
\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{2}{4}\to =30^{\circ}}\)
kąt beta tak samo a ostatni to wiadomo

Mam pytanie. W odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \alpha=30^\circ, \beta=45^\circ, \gamma=105^\circ}\) lub \(\displaystyle{ \alpha=30^\circ, \beta=135^\circ, \gamma=15^\circ}\) Dlaczego?

Jeszcze jedno. Licząc z sinusów wychodzi 30, 45 a odejmując to od 180 to wychodzi 105. Chciałem natomiast wyliczy ten kąt \(\displaystyle{ \gamma}\) normalnie. Mianowicie z twierdzeń pitagorasa tych trójkątów utwożonych z tej wysokości równej=2 obliczyłem |AB| tj. \(\displaystyle{ 2+2\sqrt3}\) Gdy próbuje wyliczyć sinusa \(\displaystyle{ \gamma}\) poprzez przyrówanie \(\displaystyle{ \frac{2+2\sqrt3}{sin\gamma}=\frac{4}{sin\beta}}\) wychodzi mi \(\displaystyle{ sin\gamma = \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}}\), a tj. \(\displaystyle{ 75^\circ}\) Gdzie robie błąd? THX

Chyba zapomniałeś, że sin jest okresowy i sin(90°+α)=sin(90°-α) , zatem sin75° =sin105°.

Jeden trójkąt to taki, w którym rzut prostokątny wierzchołka C znajduje się na odcinku AB, drugi trójkąt gdzie rzut prostokątny wierzchołka C znajduje się na przedłużeniu odcinka AB i kącie rozwartym przy wierzchołku B. I jest jeszcze jedna teoratyczna możliwość, gdzie rzut prostokątny znajduje się na przedłużeniu odcinka AB i kącie rozwartym przy wierzchołku A, ale taki trójkąt nie istnieje.