Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli punkt \(\displaystyle{ H}\) jest ortocentrum trójkąta ostrokątnego \(\displaystyle{ ABC}\) i obwody trójkątów \(\displaystyle{ ABH, BCH ,ACH}\) są równe, to trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest równoboczny.

Oznaczmy \(\displaystyle{ a_1=AH, b_1=BH, c_1=CH}\), a przez \(\displaystyle{ a, b, c }\) oznaczmy boki trójkąta odpowiednio naprzeciwko \(\displaystyle{ A,B,C}\). Z równości obwodów z treści zadania wynika, że

\(\displaystyle{ a-a_1=b-b_1=c-c_1=:x}\).

Przez każdy z punktów \(\displaystyle{ A, B, C}\) prowadzimy prostą równoległą do przeciwległego boku. Wówczas \(\displaystyle{ H}\) jest środkiem okręgu opisanego na powstałym trójkącie, a wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) zawierają się w symetralnych dużego trójkąta. Oznaczając przez \(\displaystyle{ R}\) promień tego okręgu, dostajemy

\(\displaystyle{ a^2+a_1^2=R^2}\)
\(\displaystyle{ b^2+b_1^2=R^2}\)
\(\displaystyle{ c^2+c_1^2=R^2}\)

Układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}a^2+a_1^2=R^2\\ a-a_1=x\end{cases}}\)
ma dokładnie jedno rozwiązanie ze względu na parę \(\displaystyle{ (a,a_1)}\). Skoro jest on spełniony przez pary \(\displaystyle{ (a,a_1), (b,b_1), (c,c_1)}\), to \(\displaystyle{ a=b=c}\).