DAny jest trójkąt prostokątny ABC w którym AB=8 i AC=BC Na wysokosci CD poprowadzonej z wierzcholka kata prostego wybieramy punkt E przez ktory rysujemy prostą równoległą do boku AB. Prosta ta przecina bok AC w punkcie F i bok BC w punkcie G. Wyznacz dlugosc odcinka DE aby trojkad DGF mial najwieksze pole...
Pomoze ktos ?
rysunke do zadania:
... 22uiy6.png
najwieksze pole trojkata
-
nimdil
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 22 maja 2006, o 20:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Konstantynopol
- Pomógł: 18 razy
najwieksze pole trojkata
Bazuje na rysunku.
E musi leżeć dokładnie w połowie wysokości.
Uzasadnienie: niech odcinek ED=h. Odcinek EC=CD-h. Zauważ, że trójkąt FGC jest prostokątny i równoramienny (jest podobny do abc). Stąd wynika, że wysokość trójkąta FGC - odcinek CE - dzieli go na 2 trójkąty prostokątne równoramienne - czyli CE=FE. FE = EG bo wysokość dzieli nam tam podstawę na pół. Więc:
pole trójkąta DGF = (1/2)*h*FG=h*(1/2)*2*FE=h*FE=h*CE=h*(CD-h)
przy czym CD jest nam dana odgórnie. Otrzymujemy funkcję kwadratową z argumentem h ( f(h) = h*(CD-h) ). Maksimum takiej funkcji jest tam gdzie wierzchołek paraboli czyli w punkcie:
\(\displaystyle{ h_{max} = \frac { -CD }{ -2 * (-1) } = \frac {CD}{2}}\)
E musi leżeć dokładnie w połowie wysokości.
Uzasadnienie: niech odcinek ED=h. Odcinek EC=CD-h. Zauważ, że trójkąt FGC jest prostokątny i równoramienny (jest podobny do abc). Stąd wynika, że wysokość trójkąta FGC - odcinek CE - dzieli go na 2 trójkąty prostokątne równoramienne - czyli CE=FE. FE = EG bo wysokość dzieli nam tam podstawę na pół. Więc:
pole trójkąta DGF = (1/2)*h*FG=h*(1/2)*2*FE=h*FE=h*CE=h*(CD-h)
przy czym CD jest nam dana odgórnie. Otrzymujemy funkcję kwadratową z argumentem h ( f(h) = h*(CD-h) ). Maksimum takiej funkcji jest tam gdzie wierzchołek paraboli czyli w punkcie:
\(\displaystyle{ h_{max} = \frac { -CD }{ -2 * (-1) } = \frac {CD}{2}}\)