Matematyka.pl

Udowodnić wzór na dwusieczną w trójkącie o bokach \(\displaystyle{ a, b, c}\) : \(\displaystyle{ d^2 = bc \frac{(b+c)^2 -a^2}{(b+c)^2} }\) poprowadzonej na bok \(\displaystyle{ a}\).

Można inaczej ale ja zastosowałbym dwukrotnie twierdzenie sinusów
a następnie dwukrotnie twierdzenie cosinusów

Dodano po 52 minutach 29 sekundach:
Niech

\(\displaystyle{ |BD| = x\\
|DC|=a-x\\
|AC|=b\\
|AB|=c\\
|AD|=d\\
}\)


Z twierdzenia sinusów w trójkącie ABD dostajemy

\(\displaystyle{ \frac{x}{\sin{\alpha}} = \frac{c}{\sin{\left( 180^{\circ} - \delta\right) }} \\
\frac{x}{c} = \frac{\sin{\alpha}}{\sin{\left( 180^{\circ} - \delta\right) }}\\
\frac{x}{c} = \frac{\sin{\alpha}}{\sin{\delta}}\\
}\)

Z twierdzenia sinusów w trójkącie ADC dostajemy

\(\displaystyle{ \frac{a-x}{\sin{ \alpha }} = \frac{b}{\sin{\delta}}\\
\frac{a-x}{b}=\frac{\sin{ \alpha }}{\sin{\delta}}\\
}\)


Porównując obydwa wyniki mamy

\(\displaystyle{ \frac{x}{c}=\frac{a-x}{b}}\)

Obliczmy teraz x

\(\displaystyle{ \frac{x}{c} = \frac{a}{b} - \frac{x}{b}\\
\frac{x}{c}+\frac{x}{b}=\frac{a}{b}\\
x\left( \frac{1}{c}+\frac{1}{b}\right) =\frac{a}{b}\\
x \cdot \frac{b+c}{bc} = \frac{a}{b}\\
x = \frac{a}{b} \cdot \frac{bc}{b+c}\\
x = \frac{ac}{b+c}\\
}\)

Zastosujmy teraz dwukrotnie twierdzenie cosinusów dla tego samego kąta ale za każdym razem w innym trójkącie

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABD

\(\displaystyle{ d^2=c^2+x^2-2cx \cdot \cos{ \beta }}\)

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABC

\(\displaystyle{ b^2=c^2+a^2-2ac \cdot \cos{ \beta }}\)


Wyznaczmy \(\displaystyle{ \cos{ \beta }}\) z powyższego równania

\(\displaystyle{ 2ac\cdot \cos{ \beta }=c^2+a^2-b^2\\
\cos{ \beta } = \frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}\\
}\)

Wracając do równania

\(\displaystyle{ d^2=c^2+x^2-2cx \cdot \cos{ \beta }}\)

wstawmy do niego wartości które już wcześniej policzyliśmy

\(\displaystyle{ d^2=c^2+\frac{a^2c^2}{\left( b+c\right)^2 }-2c \cdot \frac{ac}{b+c} \cdot \frac{c^2+a^2-b^2}{2ac} \\
d^2=c^2+\frac{a^2c^2}{\left( b+c\right)^2 }-\frac{c\left( c^2+a^2 - b^2\right) }{b+c}\\
d^2=c^2+\frac{a^2c^2}{\left( b+c\right)^2 }-\frac{c^3+a^2c-b^2c }{b+c}\\
d^2=\frac{c^2\left( b+c\right)^2+a^2c^2-\left( c^3+a^2c-b^2c\right)\left( b+c\right) }{\left( b+c\right)^2 }\\
d^2=\frac{\left( b^2c^2+2bc^3+c^4+a^2c^2\right) -\left( bc^3+a^2bc-b^3c+c^4+a^2c^2-b^2c^2\right)} {\left( b+c\right)^2}\\
d^2=\frac{2b^2c^2+bc^3+b^3c - a^2bc}{\left( b+c\right)^2 }\\
d^2 = \frac{bc\left( 2bc+c^2+b^2-a^2 \right) }{\left( b+c\right)^2}\\
d^2 = \frac{bc\left( \left( b+c\right)^2-a^2) \right) }{\left( b+c\right)^2}\\
}\)

Dodano po 56 minutach 50 sekundach:
Można też zacząć od obliczenia pola trójkąta ABC wykorzystując wzór z sinusem

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}bc\sin{\left( 2 \alpha \right) }=\frac{1}{2}bd\sin{\left( \alpha \right) }+\frac{1}{2}cd\sin{\left( \alpha\right) }\\
bc\sin{\left( 2 \alpha \right) } = \left( b+c\right)d \sin{\left( \alpha \right) }\\
2bc\sin{\left( \alpha \right) }\cos{\left( \alpha \right) } = \left( b+c\right)d \sin{\left( \alpha \right) }\\
2bc\cos{\left( \alpha \right) } = \left( b+c\right)d\\
d = \frac{2bc\cos{\left( \alpha \right) }}{b+c}
}\)

Teraz trzeba jakoś policzyć \(\displaystyle{ \cos{ \alpha }}\)
i jednym ze sposobów jest twierdzenie cosinusów

Dodano po 22 minutach 36 sekundach:
\(\displaystyle{
d^2=\frac{4bc}{\left( b+c\right)^2 } \cdot bc\cos^2{ \alpha }\\
d^2=\frac{4bc}{\left( b+c\right)^2 }\cdot \frac{bc}{2}\left( 1+\cos{\left( 2 \alpha \right) }\right) \\
d^2=2\frac{bc}{\left( b+c\right)^2 }\left( bc + bc\cos{\left( 2 \alpha \right) }\right)
}\)

Teraz można na siłę omijać twierdzenie cosinusów ale wg mnie tak będzie najłatwiej dokończyć

\(\displaystyle{
a^2=b^2+c^2-2bc\cos{\left( 2 \alpha \right) }\\
2bc\cos{\left( 2 \alpha \right) }=b^2+c^2-a^2\\
bc\cos{\left( 2 \alpha \right) }=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}\\
}\)

Wstawmy to do wzoru na długość odcinka dwusiecznej

\(\displaystyle{ d^2=2\frac{bc}{\left( b+c\right)^2 }\left( bc + bc\cos{\left( 2 \alpha \right) }\right) \\
d^2=2\frac{bc}{\left( b+c\right)^2 }\left( bc + \frac{b^2+c^2-a^2}{2}\right)\\
d^2=\frac{bc}{\left( b+c\right)^2 }\left( 2bc + b^2+c^2-a^2\right) \\
d^2=\frac{bc\left(\left( b+c\right)^2-a^2 \right) }{\left( b+c\right)^2 }\\
}\)

Dodano po 1 godzinie 50 minutach 7 sekundach:
Oj chyba błąd w obliczeniach ale sam pomysł dobry