Męczą mnie te zadania wiec, jeśli ktoś potrafi to niech mi pomoże.
Zad.1
W trójkącie równoramiennym długość podstawy wynosi 2a, a długość wysokości poprowadzonej na te podstawę wynosi h. Wyznacz długości pozostałych wysokości tego trójkąta.
Zad.2
Dwa boki trójkąta ostrokątnego wpisanego w okrąg o promieniu R maja długości \(\displaystyle{ \frac{3}{2}R}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{3}{R}}}\). Oblicz długość trzeciego boku.
Zad.3
Na okręgu o promieniu r opisano trapez prostokątny, którego najkrótszy bok ma długość \(\displaystyle{ \frac{3}{2}r}\). Oblicz pole tego trapezu.
(3 zadania) Obliczyć wysokości trójkąta, długość bok
(3 zadania) Obliczyć wysokości trójkąta, długość bok
Zad.1
W trójkącie równoramiennym długość podstawy wynosi 2a, a długość wysokości poprowadzonej na te podstawę wynosi h. Wyznacz długości pozostałych wysokości tego trójkąta.
Połowa podstawy, wysokość i ramię = boki w trójkącie prostokątnym, z tw. Pitagorasa wyliczamy długość ramienia b.
Wtedy mamy równość pól:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(2ah) = \frac{1}{2}bx}\), gdzie x jest wysokością opuszczona na ramię trójkąta.
Zad.2
Dwa boki trójkąta ostrokątnego wpisanego w okrąg o promieniu R maja długości \(\displaystyle{ \frac{3}{2}R}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{3}{R}}}\). Oblicz długość trzeciego boku.
Z twierdzenia sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin{A}} = \frac{b}{\sin{B}} = \frac{c}{\sin{C}} = 2R}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin{A}} = 2R}\) --> wyliczamy \(\displaystyle{ \sin{A}}\) i \(\displaystyle{ cos{A} = \sqrt{1-\sin^2{A}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{b}{\sin{B}}=2R}\) --> wyliczamy sinB i cosB
C=180-A-B
\(\displaystyle{ \sin{C}=\sin{(180^o-A-B)}=\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}}\)
Trzeci bok:
c=2RsinC
Zad.3
Miałam pomyśl, ale upadł, zastanowię się jeszcze.
W trójkącie równoramiennym długość podstawy wynosi 2a, a długość wysokości poprowadzonej na te podstawę wynosi h. Wyznacz długości pozostałych wysokości tego trójkąta.
Połowa podstawy, wysokość i ramię = boki w trójkącie prostokątnym, z tw. Pitagorasa wyliczamy długość ramienia b.
Wtedy mamy równość pól:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(2ah) = \frac{1}{2}bx}\), gdzie x jest wysokością opuszczona na ramię trójkąta.
Zad.2
Dwa boki trójkąta ostrokątnego wpisanego w okrąg o promieniu R maja długości \(\displaystyle{ \frac{3}{2}R}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{3}{R}}}\). Oblicz długość trzeciego boku.
Z twierdzenia sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin{A}} = \frac{b}{\sin{B}} = \frac{c}{\sin{C}} = 2R}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin{A}} = 2R}\) --> wyliczamy \(\displaystyle{ \sin{A}}\) i \(\displaystyle{ cos{A} = \sqrt{1-\sin^2{A}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{b}{\sin{B}}=2R}\) --> wyliczamy sinB i cosB
C=180-A-B
\(\displaystyle{ \sin{C}=\sin{(180^o-A-B)}=\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}}\)
Trzeci bok:
c=2RsinC
Zad.3
Miałam pomyśl, ale upadł, zastanowię się jeszcze.
-
metamatyk
- Użytkownik
- Posty: 107
- Rejestracja: 26 lip 2004, o 02:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 6 razy
(3 zadania) Obliczyć wysokości trójkąta, długość bok
Akurat wpadłem na nowy pomysł.
Trzeba spojrzeć na kąt ostry tego trapezu i rozpisać układ równań z zależności, które tam występują. Otóż rozpiszmy tgA, który równy jest wysokości trapezu (2r) podzielonej przez jakieś x (gdzie x jest fragmentem podstawy). Jak wiemy środek okręgu wpisanego w figurę znajduje się zawsze na przecięciu dwusiecznych kątów wewnętrznych, czyli (jak widać w naszym trapezie) \(\displaystyle{ tg\frac{A}{2}}\) jest równy promieniowi okręgu (r) podzielonemu przez x + (r/2). A skąd się wzięło te (r/2) odpowie nam rysunek znów - jest to po prostu górna podstawa (najkrótszy bok) (3/2)r-promień okręgu (r). Mamy, więc zapisany układ równań. Teraz po prostu należy skorzystać ze wzoru na tangens podwojonego kąta i podstawić zależności. Ostatecznie wyszło mi x=(3/2)r. Długość podstawy jest, więc równa r+(r/2)+(3/2)r=3r. Zatem pole trapezu = \(\displaystyle{ \large \frac{(3r+\frac{3}{2}r)2r}{2}=4,5r^2}\)
Trzeba spojrzeć na kąt ostry tego trapezu i rozpisać układ równań z zależności, które tam występują. Otóż rozpiszmy tgA, który równy jest wysokości trapezu (2r) podzielonej przez jakieś x (gdzie x jest fragmentem podstawy). Jak wiemy środek okręgu wpisanego w figurę znajduje się zawsze na przecięciu dwusiecznych kątów wewnętrznych, czyli (jak widać w naszym trapezie) \(\displaystyle{ tg\frac{A}{2}}\) jest równy promieniowi okręgu (r) podzielonemu przez x + (r/2). A skąd się wzięło te (r/2) odpowie nam rysunek znów - jest to po prostu górna podstawa (najkrótszy bok) (3/2)r-promień okręgu (r). Mamy, więc zapisany układ równań. Teraz po prostu należy skorzystać ze wzoru na tangens podwojonego kąta i podstawić zależności. Ostatecznie wyszło mi x=(3/2)r. Długość podstawy jest, więc równa r+(r/2)+(3/2)r=3r. Zatem pole trapezu = \(\displaystyle{ \large \frac{(3r+\frac{3}{2}r)2r}{2}=4,5r^2}\)
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2004, o 14:14 przez metamatyk, łącznie zmieniany 1 raz.