Proszę o rozwiązanie takich zadań:
1) W trójkącie równoramiennym ABC (AC=BC) wysokość poprowadzona z wierzchołka C ma długość 4, AC=AB-1. Oblicz pole trójkąta.
2) Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego o obwodzie 2p ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz pole tego trójkąta.
3) Długość boków trójkąta ABC tworzą trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego, przy czym AC < BC < AB. Wykaż, że \(\displaystyle{ r=\frac{1}{3h}}\), gdzie r jest długością promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt, h jest długością wysokości poprowadzonej z wierzchołka A trójkąta.
thx
(3 zadania) Oblicz pola trójkątów. Wykaż, że ...
-
Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1627
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
(3 zadania) Oblicz pola trójkątów. Wykaż, że ...
1/
Oznacz ramię trójkąta jako x, stąd podstawa będzie równa x+1.
Z twierdzenia Pitagorasa mamy równanie:
\(\displaystyle{ 4x^2-(x+1)^2=4\cdot 16}\)
\(\displaystyle{ 3x^2-2x-65=0}\)
Liczysz \(\displaystyle{ \Delta}\) i uwzględniasz tylko dodatnie rozwiązania (x=5).
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ah\Longleftrightarrow P=\frac{1}{2}(5+1)\cdot 4=12}\)
2/
Może coś z tego pomoże:
P=pr, gdzie p to połowa obwodu, a r promień okregu wpisanego w trójkąt.
\(\displaystyle{ r=(p-a)\tan{\frac{\alpha}{2}}}\), gdzie a to bok naprzeciw kąta \(\displaystyle{ \alpha}\).
3/
\(\displaystyle{ r=\frac{P}{p}}\), gdzie P to pole, a p to połowa obwodu trójkąta.
Rozpisując:
\(\displaystyle{ r=\frac{(\frac{1}{2}ah)}{\frac{1}{2}(a+b+c)}}\)
Skoro jest to ciąg arytmetyczny, a z opisu można wnioskować, że a to długość boku o średniej długości, mamy równość:
b+c=2a
Podstawiamy i mamy:
\(\displaystyle{ r=\frac{ah}{3a}=\frac{1}{3}h}\)
Oznacz ramię trójkąta jako x, stąd podstawa będzie równa x+1.
Z twierdzenia Pitagorasa mamy równanie:
\(\displaystyle{ 4x^2-(x+1)^2=4\cdot 16}\)
\(\displaystyle{ 3x^2-2x-65=0}\)
Liczysz \(\displaystyle{ \Delta}\) i uwzględniasz tylko dodatnie rozwiązania (x=5).
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ah\Longleftrightarrow P=\frac{1}{2}(5+1)\cdot 4=12}\)
2/
Może coś z tego pomoże:
P=pr, gdzie p to połowa obwodu, a r promień okregu wpisanego w trójkąt.
\(\displaystyle{ r=(p-a)\tan{\frac{\alpha}{2}}}\), gdzie a to bok naprzeciw kąta \(\displaystyle{ \alpha}\).
3/
\(\displaystyle{ r=\frac{P}{p}}\), gdzie P to pole, a p to połowa obwodu trójkąta.
Rozpisując:
\(\displaystyle{ r=\frac{(\frac{1}{2}ah)}{\frac{1}{2}(a+b+c)}}\)
Skoro jest to ciąg arytmetyczny, a z opisu można wnioskować, że a to długość boku o średniej długości, mamy równość:
b+c=2a
Podstawiamy i mamy:
\(\displaystyle{ r=\frac{ah}{3a}=\frac{1}{3}h}\)