Matematyka.pl

Witam
Mam takie zadanie do zrobienia:

Oblicz pole równoległoboku zbudowanego na wektorach:

\(\displaystyle{
\vec{a} = 2\vec{m} - \vec{n}
}\)
\(\displaystyle{
\vec{b} = \vec{m} + 3\vec{n}
}\)
jeżeli:
\(\displaystyle{
|\vec{m}|=2 }\) i \(\displaystyle{ |\vec{n}|=3}\)
oraz kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{m} }\) i \(\displaystyle{ \vec{n} }\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6} }\)

Proszę o pomoc

Co to jest równoległobok i jak obliczamy jego pole ?

Równoległobok to taki czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

Wykonaj rysunek.

Na pewno spotkałeś się w szkole ze wzorem na jego pole:

\(\displaystyle{ P = a\cdot h \ \ (1) }\)

Z trójkąta prostokątnego wysokość równoległoboku

\(\displaystyle{ h = b\cdot \sin(\alpha) \ \ (2) }\)

Na podstawie równań \(\displaystyle{ (2), (1) }\)

\(\displaystyle{ P = a\cdot b \cdot \sin(\alpha), \ \ a, \ \ b }\) - długości boków.

Możemy przyjąć, że długości boków równoległoboku wychodzących z jednego wierzchołka są długościami wektorów, które "rozpinają" ten

równoległobok, to znaczy \(\displaystyle{ a = |\vec{a}|, \ \ b = |\vec{b}|. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ P = |\vec{a}|\cdot|\vec{a}|\cdot \sin(\alpha) \ \ (3) }\)

Wzór \(\displaystyle{ (3) }\) możemy zapisać jako moduł iloczynu wektorowego wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}, \ \ \vec{b},}\)

\(\displaystyle{ P = |\vec{a}|\cdot|\vec{a}|\cdot \sin(\alpha) = | \vec{a}\times \vec{b} | \ \ (4) }\)

Podstawiamy postaci wektorów: \(\displaystyle{ \vec{a} = 2\vec{m} - \vec{n} , \ \ \vec{b} = \vec{m} + \vec{3n} }\) do \(\displaystyle{ (4).}\)

\(\displaystyle{ P = |(2\vec{m}-\vec{n})\times (\vec{m} +3\vec{n})|= |2\vec{m}\times \vec{m}+ 6\vec{m}\times \vec{n} -\vec{n}\times \vec{m}- \vec{n}\times \vec{3n}|= |\vec{0} + 6\vec{m}\times \vec{n}- (-\vec{m}\times \vec{n}) - \vec{0} |= }\)

\(\displaystyle{ = |6\vec{m}\times \vec{n} + \vec{m}\times \vec{n}| = |7 \vec{m}\times \vec{n}|. }\)

Skorzystaliśmy z własności iloczynu wektorowego dwóch wektorów:

\(\displaystyle{ \vec{a}\times \vec{a} = \vec{0}, \ \ \vec{a}\times \vec{b} = -\vec{b}\times \vec{a} }\) oraz rozdzielnośći względem dodawania.

Wracamy do lewej strony równania \(\displaystyle{ (4)}\)

\(\displaystyle{ P = |7\vec{m}|\cdot |\vec{n}|\cdot \sin(\alpha) = 7 \cdot |\vec{m}| \cdot |\vec{n}|\cdot \sin(\alpha). }\)

\(\displaystyle{ P = 7 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sin\left( \frac{\pi}{6}\right) = 42\cdot \frac{1}{2} =21.}\)

Bardzo dziękuję Potrzebowałem żeby ktoś tak szczegółowo mi to wyjaśnił!
Mam tylko jedno pytanie.
Rozumiem że w tym miejscu:

\(\displaystyle{ P = |(2\vec{m}-\vec{n})\times (\vec{m} +3\vec{n})|= |2\vec{m}\times \vec{m}+ 6\vec{m}\times \vec{n} -\vec{n}\times \vec{m}- \vec{n}\times \vec{3n}|= |\vec{0} + 6\vec{m}\times \vec{n}- (-\vec{m}\times \vec{n}) - \vec{0} |= }\)

Mnożymy nawias z nawiasem. Tylko nie rozumiem skąd tam wyszło \(\displaystyle{ 6\vec{m}\times \vec{n} }\) skoro na moją logikę powinno wyjść \(\displaystyle{ 2\vec{m}\times 3\vec{n}}\)

Z własności jednorodnośći i łączności iloczynu wektorowego:

\(\displaystyle{ (\alpha\cdot \vec{a}) \times(\beta\cdot \vec{b}) = (\alpha\cdot \beta)\cdot (\vec{a}\times \vec{b}), \ \ \alpha, \beta \in \RR. }\)

Powinienem o tym napisać.