Matematyka.pl

Nalezy dowiesc, ze:
Odcinek laczacy srodki ramion jest rownolegly do podstwa a jego dlugosc jest srednia arytmetyczna dlugosci podstaw tego trapezu. I pierwsza czesc tego zadania zrobilam(wykzalam ze jest rownolegly) ale nie wiem jak zrobic druga:/

Dorzucam obrazek
Szemek

Weźmy trapez \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym odcinki \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AD}\) są ramionami tego trapezu. Odcinek \(\displaystyle{ MN}\) łączacy środki ramion jest rownoległy do podstw, punkt \(\displaystyle{ M}\) należy do boku \(\displaystyle{ AD}\), a punkt \(\displaystyle{ N}\) do boku \(\displaystyle{ BC}\).
Załozenia:
\(\displaystyle{ \left|AM\right|=\left|DM\right|}\)
\(\displaystyle{ \left|BN\right|=\left|CN\right|}\)

Teza:
\(\displaystyle{ AB\left|\right| MN\left|\right|CD}\)
\(\displaystyle{ \left|MN\right|=\frac{\left|AB\right|+ ft|CD}{2}}\)

Dowód:
Niech punkty \(\displaystyle{ A,B,C,D,M,N}\) wyznaczają wektory:
\(\displaystyle{ \vec{MN}}\),\(\displaystyle{ \vec{MD}}\),\(\displaystyle{ \vec{DC}}\),\(\displaystyle{ \vec{CN}}\),\(\displaystyle{ \vec{MA}}\),\(\displaystyle{ \vec{AB}}\),\(\displaystyle{ \vec{BN}}\)
Przedstawmy na dwa sposoby wektor \(\displaystyle{ \vec{MN}}\):

\(\displaystyle{ \vec{MN}=\vec{MD}+\vec{DC}+\vec{CN}}\)
\(\displaystyle{ \vec{MN}=\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}}\)
Otrzymane równości dodajemy stronami:
\(\displaystyle{ 2\cdot\vec{MN}=(\vec{MD}+\vec{MA})+\vec{DC}+\vec{AB}+(\vec{BN}+\vec{CN})}\)
Wektory \(\displaystyle{ \vec{MD}}\) i \(\displaystyle{ \vec{MA}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{BN}}\) i \(\displaystyle{ \vec{CN}}\) są przeciwne, a więc ich suma jest wektorem zerowym.Zatem:
\(\displaystyle{ 2\cdot\vec{MN}=\vec{DC}+\vec{AB}}\)
\(\displaystyle{ \vec{MN}=\frac{\vec{DC}+\vec{AB}}{2}}\)
Z ostatniej równości wynika teza twierdzenia.