Matematyka.pl

Witam,

Mam problem z zadankiem ktore jest z poziomu rozszerzonego a ja mam podstawowy w szkole wiec... sami wiecie, prosilbym o pomoc w rozwiazaniu, wyrazenie wyglada tak:

(|x+4|^3 + |x-4|^3) / (|x+4| + |x-4|)

Tresc do tego brzmi: Wyznacz dziedzine i oblicz najmniejsza wartosc wyrazenia.

Prosilbym krok po kroku Z gory dzieki

Pozdrawiam

Rzeczywiscie jest do 3 potegi! Za szybko przepisywalem... Sorry

Dziedzina:
Jedyny warunek to |x+4|+|x-4| 0, a jako, że jest to suma dwóch wartości nieujemnych oznacza to, żeby mianownik był równy 0 musi zachodzić:
x+4=0 i x-4=0 => nie ma takich x dla których mianownik byłby 0 stąd dziedzina to R.

Dalsza czesc rozwiązania:

Skoro licznik i mianownik sa nieujemne to aby otrzymac wartość najmniejszą tego wyrażenia to dla jakiegoś x licznik musi być jak najmniejszy przy jak najwiekszym mianowniku! Chyba jakoś tak to bedzie!

No tak ... ale jak to zrobić ??

Mam pomysł aczkolwiek nie jestem pewien ...

Trzeba rozpatrzec 4 przypadki a potem obliczac minima dla każdego z nich korzystając z pochodnych ... nic innego mi nie przychodzi do głowy ...

Ja bym rozpatrzyła 3 przypadki i też pochodną, bo inaczej się nie da (chyba) bo gdyby jeszcze funkcja kwadratowa w tych przypadkach wychodziła to z wierzchołka można pokombinować, a tak to lipa.

przeciez to prostackie:

dziedzina R
bo |x-4| + |x+4| > 0

minimum

szukamy minimum takiego cosik

(a^2 + b^2)/(a+b)
a,b>=0

z srednich

(a^2 + b^2)/(a+b) >= (a+b)/2 =

a minimum a+b w tym przypadku to osiem to trywialne akurat
przy czym rownosc zachodzi a=b

czyli |x-4| = |x+4| czyli x=0

a ta najmniejsza wartosc to 4
koniec zadania...

Wlasnie w odpowiedziach jest napisane ze najmniejsza wartosc wyrazenia wynosi 16.

Ale przed tym pisza tak:
Zapisac wyrazenie w postaci: |x+4|^2 - |x+4|*|x-4| + |x-4|^2

Dalej:
Doprowadzic wyrazenie do postaci:

/ x^2 + 48 dla x nie nalezy do
{
3x^2 + 16 dla x e

Moglby mi ktos to wytlumaczyc?

Z gory dzieki

tam powinny byc 3 cie potegi i tyle : P

Gdzie te 3cie potegi?

Gdzie te 3cie potegi?

W wyrazeniu danym, powinno byc
(|x+4|3 + |x-4|3) / (|x+4| + |x-4|) I to rzeczywiscie ze wzoru na sume trzecich poteg daje sie rozpisac, jak w rozwiazaniu, ktore podales:
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

Eh, a moglby ktos to rozpisac? Zupelnie nie mam glowy jak sie za to zabrac... Prosze

(|x + 4|3 + |x - 4|3) / (|x + 4| + |x - 4|) = |x + 4|2 - |x + 4|*|x - 4| + |x - 4|2 = x2 + 8x + 16 - |x + 4|*|x - 4| + x2 - 8x + 16 = 2x2 + 32 - |x + 4|*|x - 4|
teraz zajmiemy sie tym kawalkiem: |x + 4|*|x - 4|
|x + 4| = x + 4 dla x -4
|x + 4| = -(x + 4) dla x < -4

|x - 4| = x - 4 dla x 4
|x - 4| = -(x - 4) dla x < 4

Iloczyn tych modulow wiec bedzie rowny:
|x+4|*|x - 4| = (x + 4)*(x - 4) dla x < -4 oraz dla x 4
|x+4|*|x - 4| = -(x + 4)*(x - 4) dla -4 x < 4

i cale wyrazenie w tych dwoch przedziałach:
dla x < -4 oraz dla x 4
2x2 + 32 - |x+4|*|x - 4| = 2x2 + 32 - (x + 4)*(x - 4) = x2 + 48

dla -4 x < 4
2x2 + 32 - |x+4|*|x - 4| = 2x2 + 32 + (x + 4)*(x - 4) = x2 + 16
I to sie zgadza z tym, co napisales (chyba blednie wpisales przedzialy?). Minimum ta funkcja osiaga dla x = 0, czyli minimum=16

Wielkie dzieki Yavien! Zaraz bede analizowac to rozwiazanko

Hmmm chyba zakradl sie maly blad powinno byc:

dla -4 >= x < 4
2x^2 + 32 - |x+4|*|x-4| = 2x^2 + 32 + (x+4)*(x-4) = 3x^2 + 16

Aha i jeszcze... dlaczego
|x+4|*|x - 4| = (x + 4)*(x - 4) dla x < -4 oraz dla x >= 4

skoro

|x + 4| = -(x + 4) dla x < -4

Tego nie rozumiem... :/

Greetings