Rozwiązać
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt[5]{x+ \sqrt{y} } + \sqrt[5]{x- \sqrt{y} } =2 \\ y-x^2=1 \end{cases}}\).
Ładny układ
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13374
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
-
arek1357
Re: Ładny układ
pierwsze podstawienie:
\(\displaystyle{ y=t^2}\)
i mamy ładniej teraz:
(*) \(\displaystyle{ \sqrt[5]{x+t} +\sqrt[5]{x-t} =2 / \cdot \sqrt[5]{x-t} }\)
\(\displaystyle{ x^2-t^2=-1}\)
(*) \(\displaystyle{ \sqrt[5]{x^2-t^2}+\sqrt[5]{x-t}^2=2\sqrt[5]{x-t}}\)
\(\displaystyle{ -1+\sqrt[5]{x-t}^2=2\sqrt[5]{x-t}}\)
podstawienie:
\(\displaystyle{ \sqrt[5]{x-t}=z}\)
mamy więc równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ z^2-2z-1=0}\)
rozwiązania:
więc otrzymamy:
\(\displaystyle{ z=1- \sqrt{2} \vee z=1+ \sqrt{2} }\)
więc otrzymamy:
\(\displaystyle{ \sqrt[5]{x-t} =1- \sqrt{2} \vee 1+ \sqrt{2}}\)
lub:
\(\displaystyle{ x-t=\left( 1- \sqrt{2} \right)^5 \vee \left( 1+ \sqrt{2} \right)^5}\)
\(\displaystyle{ x=t+\left( 1- \sqrt{2} \right)^5 \vee t+\left( 1+ \sqrt{2} \right)^5}\)
ale:
\(\displaystyle{ x^2-t^2=-1}\)
z tego wyliczymy \(\displaystyle{ t}\), potem \(\displaystyle{ x}\) potem \(\displaystyle{ y}\) już mi sie nie chce tak szczerze...
no ostatecznie:
\(\displaystyle{ x= \frac{a^2-1}{2a} , y= \frac{\left( a^2+1\right)^2 }{4a^2} }\)
gdzie:
\(\displaystyle{ a=\left( 1- \sqrt{2} \right)^5 \vee \left( 1+ \sqrt{2} \right)^5}\)
\(\displaystyle{ y=t^2}\)
i mamy ładniej teraz:
(*) \(\displaystyle{ \sqrt[5]{x+t} +\sqrt[5]{x-t} =2 / \cdot \sqrt[5]{x-t} }\)
\(\displaystyle{ x^2-t^2=-1}\)
(*) \(\displaystyle{ \sqrt[5]{x^2-t^2}+\sqrt[5]{x-t}^2=2\sqrt[5]{x-t}}\)
\(\displaystyle{ -1+\sqrt[5]{x-t}^2=2\sqrt[5]{x-t}}\)
podstawienie:
\(\displaystyle{ \sqrt[5]{x-t}=z}\)
mamy więc równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ z^2-2z-1=0}\)
rozwiązania:
więc otrzymamy:
\(\displaystyle{ z=1- \sqrt{2} \vee z=1+ \sqrt{2} }\)
więc otrzymamy:
\(\displaystyle{ \sqrt[5]{x-t} =1- \sqrt{2} \vee 1+ \sqrt{2}}\)
lub:
\(\displaystyle{ x-t=\left( 1- \sqrt{2} \right)^5 \vee \left( 1+ \sqrt{2} \right)^5}\)
\(\displaystyle{ x=t+\left( 1- \sqrt{2} \right)^5 \vee t+\left( 1+ \sqrt{2} \right)^5}\)
ale:
\(\displaystyle{ x^2-t^2=-1}\)
z tego wyliczymy \(\displaystyle{ t}\), potem \(\displaystyle{ x}\) potem \(\displaystyle{ y}\) już mi sie nie chce tak szczerze...
no ostatecznie:
\(\displaystyle{ x= \frac{a^2-1}{2a} , y= \frac{\left( a^2+1\right)^2 }{4a^2} }\)
gdzie:
\(\displaystyle{ a=\left( 1- \sqrt{2} \right)^5 \vee \left( 1+ \sqrt{2} \right)^5}\)
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10305
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2429 razy
Re: Ładny układ
Jeśli \(\displaystyle{ a = \sqrt[5]{x-\sqrt{y}}}\) i \(\displaystyle{ b = \sqrt[5]{x+\sqrt{y}}}\), to z układu równań wynika że \(\displaystyle{ a+b = 2}\) i \(\displaystyle{ ab = -1}\). Mamy zatem równość wielomianów
\(\displaystyle{ (z-a)(z-b) = z^2 - (a+b) z + ab = z^2 - 2z - 1}\)
i stąd \(\displaystyle{ \{ a, b \} = \{ 1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2} \}}\). Jednocześnie \(\displaystyle{ a < b}\), czyli \(\displaystyle{ a = 1 - \sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ b = 1+\sqrt{2}}\). Wystarczy podnieść do potęgi piątej i dalej prosto.
\(\displaystyle{ (z-a)(z-b) = z^2 - (a+b) z + ab = z^2 - 2z - 1}\)
i stąd \(\displaystyle{ \{ a, b \} = \{ 1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2} \}}\). Jednocześnie \(\displaystyle{ a < b}\), czyli \(\displaystyle{ a = 1 - \sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ b = 1+\sqrt{2}}\). Wystarczy podnieść do potęgi piątej i dalej prosto.