Wyznaczanie wartości funkcji
Wyznaczanie wartości funkcji
Niech parametr \(\displaystyle{ a}\) będzie liczbą rzeczywistą dodatnią. Wyznacz najmniejszą wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x^{4}+2ax^{-2} }\) dla \(\displaystyle{ x \ne 0}\). Dla jakich \(\displaystyle{ a}\) wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) nie są mniejsze niż \(\displaystyle{ 12}\)?
Ostatnio zmieniony 21 maja 2023, o 21:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=178502 .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=178502 .
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4106
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 82 razy
- Pomógł: 1410 razy
Re: Wyznaczanie wartości funkcji
Zauważ, że z AM-GM mamy
Ponad to dla \(\displaystyle{ x= \sqrt[6]{a} }\) zachodzi równość. Zatem najmniejszą wartością jest \(\displaystyle{ 3 \sqrt[3]{a}}\) i argument działa dla dowolnych \(\displaystyle{ x}\) ze względu na symetrię. Ostatnia część zadania sprowadza się do nierówności \(\displaystyle{ 3 \sqrt[3]{a}\ge 12}\).
\(\displaystyle{ \begin{split}
x^4+ \frac{2a}{x^2}&=x^4+ \frac{a}{x^2} + \frac{a}{x^2} \\[2ex]
&\ge 3 \sqrt[3]{x^4 \times \frac{a}{x^2} \times \frac{a}{x^2}} \\[2ex]
&= 3 \sqrt[3]{a}.
\end{split}
}\)
x^4+ \frac{2a}{x^2}&=x^4+ \frac{a}{x^2} + \frac{a}{x^2} \\[2ex]
&\ge 3 \sqrt[3]{x^4 \times \frac{a}{x^2} \times \frac{a}{x^2}} \\[2ex]
&= 3 \sqrt[3]{a}.
\end{split}
}\)
Ponad to dla \(\displaystyle{ x= \sqrt[6]{a} }\) zachodzi równość. Zatem najmniejszą wartością jest \(\displaystyle{ 3 \sqrt[3]{a}}\) i argument działa dla dowolnych \(\displaystyle{ x}\) ze względu na symetrię. Ostatnia część zadania sprowadza się do nierówności \(\displaystyle{ 3 \sqrt[3]{a}\ge 12}\).
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4106
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 82 razy
- Pomógł: 1410 razy
Re: Wyznaczanie wartości funkcji
Fakt. Dzięki. Zamiast \(\displaystyle{ 3 \sqrt[3]{a} }\) powinno wszędzie być \(\displaystyle{ 3 \sqrt[3]{a^2} }\).