Matematyka.pl

Równania \(\displaystyle{ x^3+ax+b=0}\) oraz \(\displaystyle{ x^4+x+1=0}\) mają wspólny pierwiastek ;wyznaczyć go.

\(\displaystyle{ x^4+x+1=\left( x^2+px+q\right)\left( x^2+rx+s\right) \\
x^4+x+1 = x^4+rx^3+sx^2+px^3+prx^2+psx+qx^2+qrx+qs\\
x^4+x+1 = x^4 + \left( p+r\right) x^3+\left( q+s + pr\right) x^2+\left( ps+qr\right)x+qs\\
\begin{cases} p + r = 0 \\ q+s + pr = 0 \\ ps+qr = 1\\ qs = 1 \end{cases} \\
\begin{cases} r = -p \\ q+s - p^2 = 0 \\ ps-pq = 1\\ 4qs = 4 \end{cases} \\
\begin{cases} r = -p \\ q+s = p^2 \\ p\left( q-s\right) = -1\\ 4qs = 4 \end{cases} \\
\begin{cases} r = -p \\ q+s = p^2 \\ q-s = -\frac{1}{p}\\ 4qs = 4 \end{cases} \\
\begin{cases} r = -p \\ 2q = p^2-\frac{1}{p} \\ 2s = p^2+\frac{1}{p}\\ 4qs = 4 \end{cases} \\
\left( p^2- \frac{1}{p} \right)\left( p^2+ \frac{1}{p} \right) =4\\
p^4 - 4 - \frac{1}{p^2} =0\\
p^6 - 4p^2 - 1 = 0\\
p^2 = y\\
y^3 - 4y - 1 = 0\\
y = u+v\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-4\left( u+v\right) - 1 = 0\\
u^3+v^3 - 1 +3\left( u+v\right)uv - 4\left( u+v\right) = 0\\
u^3+v^3 - 1 +3\left( u+v\right)\left( uv - \frac{4}{3} \right) \\
\begin{cases} u^3+v^3 - 1 = 0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv - \frac{4}{3} \right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=1 \\ uv - \frac{4}{3} =0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=1 \\ uv = \frac{4}{3} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=1 \\ u^3v^3 = \frac{64}{27} \end{cases} \\
t^2-t+\frac{64}{27}=0\\
\left( t- \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{64}{27}-\frac{1}{4} \\
\left( t- \frac{1}{2} \right)^2+\frac{256-27}{108}=0\\
\left( t- \frac{1}{2} \right)^2+\frac{687}{324}=0\\
\left( t- \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{687} }{18}i \right)\left( t- \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{687} }{18}i \right)=0\\
\left( t- \frac{9+ \sqrt{687}i }{18} \right)\left( t- \frac{1}{2} + \frac{9- \sqrt{687}i }{18} \right)=0\\
\left( t- \frac{108+12\sqrt{687}i}{216} \right)\left( t- \frac{108-12\sqrt{687}i}{216} \right) = 0\\
y = \frac{1}{6}\left( \sqrt[3]{108+12\sqrt{687}i}+ \sqrt[3]{108-12\sqrt{687}i} \right) \\
}\)
\(\displaystyle{
\sqrt[3]{108+12\sqrt{687}i}\\
r = \sqrt{108^2+144 \cdot 687} = \sqrt{11664+144 \cdot 687} = 192 \sqrt{3} \\
\varphi = \arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }\\
y= \frac{1}{6} \cdot \left( 4 \sqrt{3}\left(\cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }+i\sin{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) } \right)+4 \sqrt{3}\left(\cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }-i\sin{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) } \right) \right) \\
y = \frac{12\sqrt{3}}{9}\cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }\\
p = \frac{2 \sqrt{3} }{3} \sqrt{ \sqrt{3} \cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }} \\
}\)

Teraz rozkład wielomianu czwartego stopnia na czynniki kwadratowe wygląda następująco

\(\displaystyle{ x^4+x+1 = \left( x^2+px+ \frac{1}{2}\left( p- \frac{1}{p} \right) \right)\left( x^2 - px+ \frac{1}{2}\left( p + \frac{1}{p} \right) \right) }\)
gdzie \(\displaystyle{ p = \frac{2 \sqrt{3} }{3} \sqrt{ \sqrt{3} \cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }} }\)


Gdy policzymy wyróżniki tych trójmianów kwadratowych to okaże się że są one ujemne
Mamy zatem cztery parami sprzężone pierwiastki zespolone tego wielomianu czwartego stopnia

Jeżeli przyjmiemy że zarówno współczynniki wielomianów jak i zmienna należą do zbioru liczb rzeczywistych to
będziemy mieli dwa wspólne pierwiastki obydwa można otrzymać z rozłożenia tych trójmianów kwadratowych
i dostaniemy dwie pary rozwiązań

Moja pierwsza myśl to było obliczenie NWD wielomianów algorytmem Eulkidesa (braniem reszt z kolejnych dzieleń)

Na czym ma polegać rozwiązanie tego zadania? Na wskazaniu `a` i `b`? Wielomanów postaci `x^3+ax+b`, które mają wspólny pierwiastek z danym jest nieskończenie wiele.

a4karo pisze: 16 sie 2021, o 11:19 Wielomanów postaci `x^3+ax+b`, które mają wspólny pierwiastek z danym jest nieskończenie wiele.

Przy założeniu że \(\displaystyle{ a,b,x \in \mathbb{R}}\)
mamy tylko dwa takie wielomiany


\(\displaystyle{ x^3- \frac{1}{2}\left( 2p^2-p- \frac{1}{p} \right)x+ \frac{1}{2}\left( p^2+1\right) \\
x^3- \frac{1}{2}\left( 2p^2-p+ \frac{1}{p} \right)x - \frac{1}{2}\left( p^2-1\right) \\
}\)

gdzie \(\displaystyle{ p = \frac{2 \sqrt{3} }{3} \sqrt{ \sqrt{3} \cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }} }\)

Dodano po 1 godzinie 22 minutach 39 sekundach:
Tutaj miałem literówkę w rozkładzie

\(\displaystyle{ x^4+x+1 = \left( x^2+px+ \frac{1}{2}\left( p^2- \frac{1}{p} \right) \right)\left( x^2 - px+ \frac{1}{2}\left( p^2 + \frac{1}{p} \right) \right) }\)
gdzie \(\displaystyle{ p = \frac{2 \sqrt{3} }{3} \sqrt{ \sqrt{3} \cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }} }\)

Przy założeniu że \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R}}\)
mamy tylko dwa takie wielomiany

\(\displaystyle{ x^3- \frac{1}{2}\left( p^2+1\right)x- \frac{1}{2}\left( p^3-1\right) }\)
oraz
\(\displaystyle{ x^3- \frac{1}{2}\left( p^2-1\right)x + \frac{1}{2}\left( p^3+1\right) }\)
gdzie \(\displaystyle{ p = \frac{2 \sqrt{3} }{3} \sqrt{ \sqrt{3} \cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }} }\)


natomiast przy założeniu że \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{C}}\)
to możliwe że tych wielomianów jest nieskończenie wiele