Matematyka.pl

Otóż mam problem. Jedno zadanie rozwiązując dwoma sposobami dostarcza różnych wyników.

Zadanie:
Niech \(\displaystyle{ f(x) = 3(x+2)^4+x^2+4x+p}\), gdzie p jest parametrem rzeczywistym.
Dla jakiego parametru rzeczywistego \(\displaystyle{ p}\) najmniejszą wartością funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) jest \(\displaystyle{ y = -2}\) ? Uzasadnić bez rachunku różniczkowego.

I rozwiązanie:
\(\displaystyle{ f(x) = 3(x+2)^4 +(x+2)^2 - 4+ p}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in\mathbb{R}} f(x) \ge -4+p}\) oraz \(\displaystyle{ f(-2) = -4+p}\), więc dla \(\displaystyle{ p =2}\) najmniejszą wartością \(\displaystyle{ f}\) jest \(\displaystyle{ f(-2)=2}\).

II rozwiązanie:
\(\displaystyle{ (x+2)^2 = t \\
f(t) = 3t^2 +t - 4+p \\
\Delta = 49-12p}\)
czyli \(\displaystyle{ q = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{p - 49}{12}\\
q = -2\\}\),co daje
\(\displaystyle{ p = \frac{25}{12}}\)
Co jest nie tak?

W II rozwiązaniu nie uwzględniłeś faktu, że \(\displaystyle{ t=(x+2)^2\ge 0}\). Okaże się, że najmniejsza wartość funkcji \(\displaystyle{ f}\) zmiennej \(\displaystyle{ t}\) nie jest osiągana w wierzchołku paraboli, bo odcięta wierzchołka \(\displaystyle{ -\frac{1}{2\cdot 3}}\) nie należy do wykresu rozpatrywanej funkcji \(\displaystyle{ f}\) (argumentami tej funkcji są tylko liczby nieujemne). Ponieważ funkcja ta jest rosnąca w swojej dziedzinie, jej najmniejsza wartość jest osiągana dla \(\displaystyle{ t=0}\).