Wielomian a ułamki

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11613
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3172 razy
Pomógł: 751 razy

Wielomian a ułamki

Post autor: mol_ksiazkowy »

Czy istnieje wielomian \(\displaystyle{ W}\) o współczynnikach wymiernych taki, że \(\displaystyle{ W( \frac{1}{k} ) = \frac{1}{k+1}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,3,... }\) :?:
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4119
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 1410 razy

Re: Wielomian a ułamki

Post autor: Janusz Tracz »

Może to jest dobrze, a może źle (l literally do not care). Jeśli jest źle to i tak jestem za głupi aby zrozumieć dlaczego.:    
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10257
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 2379 razy

Re: Wielomian a ułamki

Post autor: Dasio11 »

Gdyby taki wielomian istniał, to wielomian \(\displaystyle{ W(x) \cdot (x+1) - x}\) miałby nieskończenie wiele miejsc zerowych, więc byłby zerowy - co jest niemożliwe, bo w punkcie \(\displaystyle{ x=-1}\) daje niezerową wartość.

Ogólnie jeśli dwie funkcje wymierne zgadzają się w nieskończenie wielu punktach, to są równe (jako wyrażenia algebraiczne, czyli elementy ciała ułamków \(\displaystyle{ \mathbb{R}[X]_0}\)). Skoro więc równania spełnia funkcja wymierna \(\displaystyle{ \frac{x}{x+1}}\), która nie jest wielomianem, to żaden wielomian tych równań spełniać nie może.
ODPOWIEDZ