Matematyka.pl

Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ W}\) to taki wielomian. Wtedy (jako, że \(\displaystyle{ W}\) jest ciągły, a nawet analityczny) mamy

• \(\displaystyle{ W(0)= \lim_{ k \to \infty } W\left( \frac{1}{k} \right) = \lim_{ k \to \infty } \frac{1}{k+1} =0,}\)

• \(\displaystyle{ W'(0)= \lim_{ k \to \infty } \frac{W(1/k) - W(0)}{1/k} = \lim_{ k \to \infty } \frac{k}{k+1} =1. }\)

Ze wzoru Taylora wynika, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) istnieje takie \(\displaystyle{ \xi\in (0,x) \cup (x,0)}\), że

Kładąc \(\displaystyle{ x=1/k}\) definiujemy ciąg \(\displaystyle{ \xi_k}\) dla którego zachodzi równość

Oczywiście \(\displaystyle{ \xi_k\to 0}\), gdy \(\displaystyle{ k\to \infty}\). Zatem (znów z ciągłości, tym razem \(\displaystyle{ W^{''}}\)) mamy

• \(\displaystyle{ W''(0)= \lim_{ k \to \infty } W''(\xi_k) = \lim_{ k \to \infty } 2k^2\left( \frac{1}{k+1}- \frac{1}{k} \right) =- 2. }\)

Możemy więc zapisać jeszcze jeden krok rozwinięcia (znów użyje \(\displaystyle{ \xi}\), choć nie musi i za pewne nie jest to \(\displaystyle{ \xi}\) występujące dotychczas). Dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) istnieje \(\displaystyle{ \xi\in (0,x) \cup (x,0)}\) takie, że


Znów kładąc \(\displaystyle{ x=1/k}\) otrzymamy ciąg \(\displaystyle{ \xi_k}\) dążący do zera dla którego (z definicji) zachodzi


Czyli

A to sprzeczność. Wielomiany mają skończone pochodne.