Matematyka.pl

Udowodnić, że wielomian \(\displaystyle{ (x+1)(x+2)(x+3)+17}\) nie jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia \(\displaystyle{ \ge 1}\) o współczynnikach wymiernych.

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Skorzystaj z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.

Ok, nie wiem czy dobrze rozumiem, ale próbuję tak:
Przemnożyłem ten wielomian i dostałem \(\displaystyle{ x^3+6x^2+11x+23}\), a więc wymiernymi kandydatami na pierwiastki są liczby: \(\displaystyle{ 1,-1,23,-23}\) bo muszą to być dzielniki wyrazu wolnego. Sprawdziłem, że żadna z tych liczb nie jest pierwiastkiem tego wielomianu. I teraz, żeby ten wielomian był iloczynem dwóch wielomianów stopnia \(\displaystyle{ \ge 1}\) to jeden musi być stopnia pierwszego, a drugi drugiego. Zatem na pewno ma co najmniej jeden pierwiastek. Gdyby był on wymierny to nasz początkowy wielomian też miałby ten pierwiastek, a nie ma. A zatem ten pierwiastek musi być niewymierny. Ale chyba nie wiem co dalej?

Dalej - np. uzasadnić, że ma tylko jeden rzeczywisty pierwiastek.

max123321 pisze: 2 wrz 2023, o 14:24Zatem na pewno ma co najmniej jeden pierwiastek.

A nawet pierwiastek wymierny, więc to koniec dowodu.

Chwilka bo coś nie rozumiem. Skąd wiemy, że ma co najmniej jeden pierwiastek wymierny? Mówimy o wielomianie pierwszego stopnia. Ale chyba może być wielomian o współczynnikach całkowitych, który ma pierwiastki niewymierne?

Nie ma pierwiastka wymiernego, sam to pokazałeś. Teraz twierdzenie Bezout i po sprawie

max123321 pisze: 2 wrz 2023, o 21:42Mówimy o wielomianie pierwszego stopnia. Ale chyba może być wielomian o współczynnikach całkowitych, który ma pierwiastki niewymierne?

Wielomian pierwszego stopnia o współczynnikach wymiernych (w tym całkowitych) zawsze ma dokładnie jeden pierwiastek, i jest on wymierny.

No ok zgadzam się, ale może się tak chyba zdarzyć, że iloczyn wielomianów o współczynnikach niewymiernych daje w efekcie wielomian, który ma współczynniki całkowite. Być może ten wielomian pierwszego stopnia ma jakiś współczynnik niewymierny i ten drugi wielomian drugiego stopnia ma jakiś współczynnik niewymierny, a po przemnożeniu otrzymamy wielomian o współczynnikach całkowitych. Jak to wykluczyć?

Dodano po 38 minutach 57 sekundach:
A nie głupoty gadam, bo przecież te dwa wielomiany mają mieć współczynniki wymierne.

Dodano po 3 minutach 16 sekundach:
To jest faktycznie koniec dowodu. Dobra już nic nie mówię.