Matematyka.pl

Udowodnić, że funkcja
a) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x} }\)
b) Część całkowita z \(\displaystyle{ x}\)
nie są wielomianami.

Jak zrobić to a)? Może mi ktoś pomóc?

ciág pochodnych nie zapętla się na zerze; \(\displaystyle{ P(x)^3=x}\) nie jest możliwym, jak i \(\displaystyle{ P(8x)=2P(x) }\) dla wielomianów niestałych itd.

Granica pochodnej w nieskończoności
Pochodna w zerze
Badanie `f(x+1)-f(x)`

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{ \sqrt[3]{x} -1 } }\) nie jest wielomianem

mol_ksiazkowy pisze: ↑1 wrz 2023, o 03:02 \(\displaystyle{ \frac{x-1}{ \sqrt[3]{x} -1 } }\) nie jest wielomianem

Dlaczego? I jak z tego wynika, że pierwiastek nie jest?

Gdyż jeśli \(\displaystyle{ P(x)= \frac{x-1}{ \sqrt[3]{x} -1 } }\) to wtedy \(\displaystyle{ P(x^3)= x^2+x+1}\) dla \(\displaystyle{ x \neq 1}\) ...

No i co z tego?

Jeśli \(\displaystyle{ P(x) = \sqrt[3]{x}}\) i \(\displaystyle{ Q(x) = \sqrt[3]{x} +1}\) będą wielomianami (tego samego stopnia ), to \(\displaystyle{ Q(x)^3 = x+1+ 3 P(x)Q(x)}\) czyli \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są stopnia trzeciego i \(\displaystyle{ P}\) jest funkcją nieparzystą, :
\(\displaystyle{ P(x)= 3x^3-2x}\) , sprzeczność (\(\displaystyle{ P}\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste).

Ok, ale możecie zacząć od początku bo się trochę gubię? Od czego mam zacząć i do czego mam dążyć?

To są szkice prostych rozwiązań, np.

\(\displaystyle{ P(x)^3=x}\) nie jest możliwym.

tj. gdyby \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x} =P(x)}\) byłoby wielomianem, (\(\displaystyle{ P}\) nie może być stały) to \(\displaystyle{ P(x)^3=x}\) nie jest możliwym, to stopień wielomianu \(\displaystyle{ P(x)^3}\) jest większy bądź rowny \(\displaystyle{ 3}\). Sprzeczność

Ok, ma to sens, ale dlaczego \(\displaystyle{ P(x)}\) nie może być stały? Np. \(\displaystyle{ P(x)=5}\) też jest wielomianem.

max123321 pisze: ↑1 wrz 2023, o 18:31 Ok, ma to sens, ale dlaczego \(\displaystyle{ P(x)}\) nie może być stały? Np. \(\displaystyle{ P(x)=5}\) też jest wielomianem.

No stały wielomian rzadko kiedy równa się funkcji `x`

Ok, to może takie uzasadnienie będzie lepsze? Gdyby \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x} =P(x)}\) była wielomianem, to wówczas mielibyśmy \(\displaystyle{ P(x)^3=x}\), a to oznacza, że albo wielomian po lewej stronie jest zerowego stopnia albo co najmniej trzeciego, a zatem w żadnym wypadku nie może być równy wielomianowi pierwszego stopnia co daje sprzeczność. Można tak uzasadnić?

Dodano po 19 godzinach 20 sekundach:
Re: Udowodnić, że część całkowita z x nie są wielomianami
Ok, a jak wykazać, że część całkowita z \(\displaystyle{ x}\) nie jest wielomianem?

--> A czy to jest funkcja ciągła ?

max123321 pisze: ↑2 wrz 2023, o 16:46Ok, a jak wykazać, że część całkowita z \(\displaystyle{ x}\) nie jest wielomianem?

I ile ma miejsc zerowych?

JK