Suma
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13436
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3429 razy
- Pomógł: 809 razy
Suma
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ W(x) =x^n + (k+1)x^{n-1}+ (2k+1)x^{n-2}+....+ ( (n-1)k +1)x+ nk+1,}\) to \(\displaystyle{ W(1-k)= n+1}\).
Ostatnio zmieniony 13 cze 2023, o 18:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8708
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 335 razy
- Pomógł: 3431 razy
Re: Suma
Niech \(\displaystyle{ S_i(x)}\) będzie wielomianem zawierającym \(\displaystyle{ i}\) składników \(\displaystyle{ W(x)}\) o największych potęgach argumentu \(\displaystyle{ x}\) , czyli
\(\displaystyle{ S_1(x)=x^n\\
S_2(x)=x^n + (k+1)x^{n-1}\\
....\\
S_n(x)=x^n + (k+1)x^{n-1}+ (2k+1)x^{n-2}+....+ ( (n-1)k +1)x\\
S_{n+1}(x)=W(x)}\)
Przyjmując \(\displaystyle{ x=1-k}\) mam
\(\displaystyle{
S_2(1-k)=(1-k)^n + (k+1)(1-k)^{n-1}=(1-k)^{n-1} \cdot 2\\
S_3(1-k)=S_2(1-k)+(2k+1)x^{n-2}=(1-k)^{n-1} \cdot 2+(2k+1)(1-k)^{n-2}=(1-k)^{n-2} \cdot 3\\
S_4(1-k)=S_3(1-k)+(3k+1)x^{n-3}=(1-k)^{n-2} \cdot 3+(3k+1)(1-k)^{n-3}=(1-k)^{n-3} \cdot 4\\
....\\
S_m(1-k)=(1-k)^{n-m+1} \cdot m\\
...\\
S_n(1-k)=(1-k)^{1} \cdot n\\
S_{n+1}(1-k)=(1-k)^{1} \cdot n+nk+1= \red {n+1=W(1-k)}}\)
\(\displaystyle{ S_1(x)=x^n\\
S_2(x)=x^n + (k+1)x^{n-1}\\
....\\
S_n(x)=x^n + (k+1)x^{n-1}+ (2k+1)x^{n-2}+....+ ( (n-1)k +1)x\\
S_{n+1}(x)=W(x)}\)
Przyjmując \(\displaystyle{ x=1-k}\) mam
\(\displaystyle{
S_2(1-k)=(1-k)^n + (k+1)(1-k)^{n-1}=(1-k)^{n-1} \cdot 2\\
S_3(1-k)=S_2(1-k)+(2k+1)x^{n-2}=(1-k)^{n-1} \cdot 2+(2k+1)(1-k)^{n-2}=(1-k)^{n-2} \cdot 3\\
S_4(1-k)=S_3(1-k)+(3k+1)x^{n-3}=(1-k)^{n-2} \cdot 3+(3k+1)(1-k)^{n-3}=(1-k)^{n-3} \cdot 4\\
....\\
S_m(1-k)=(1-k)^{n-m+1} \cdot m\\
...\\
S_n(1-k)=(1-k)^{1} \cdot n\\
S_{n+1}(1-k)=(1-k)^{1} \cdot n+nk+1= \red {n+1=W(1-k)}}\)