Dla jakich wielomianów \(\displaystyle{ W }\) mamy \(\displaystyle{ W(\sin(x)) = \sin(W(x))}\) gdy \(\displaystyle{ x \in \RR }\) ?Sinus wielomianu
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11583
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3167 razy
- Pomógł: 749 razy
Sinus wielomianu
Dla jakich wielomianów \(\displaystyle{ W }\) mamy \(\displaystyle{ W(\sin(x)) = \sin(W(x))}\) gdy \(\displaystyle{ x \in \RR }\) ?
Ostatnio zmieniony 30 lip 2023, o 17:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22276
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3765 razy
Re: Sinus wielomianu
Rozpatrzę dwa przypadki:
1) Stopień `W` jest większy niż `1`.
Jeżeli `W` spełnia równanie, to `-W` też, więc możemy założyć, że `\lim_{x\to\infty} W(x)=\infty`.
Weźmy dowolne `\varepsilon>0`. Pochodna `W` też dąży do nieskończoności dla dużych `x`, więc dla `\xi>X` mamy `W'(\xi)>\pi/\varepsilon`.
Korzystając z własności Darboux znajdziemy `x_\varepsilon, y_\varepsilon>X` takie, że dla pewnego `k\in\NN` zachodzi `W(x_\varepsilon)=k\pi` i `W(y_\varepsilon)=(k+1)\pi`. Na mocy twierdzenia Lagrange'a dostajemy
`\pi=W(y_\varepsilon)-W(y_\varepsilon)=W'(\xi)(y_\varepsilon-x_\varepsilon)>\pi/\varepsilon (y_\varepsilon-x_\varepsilon)`, skąd `0<y_\varepsilon-x_\varepsilon<\varepsilon` .
Widzimy zatem, że prawa strona wyjściowego równania ma zera, które leżą dowolnie blisko siebie.
Lewa strona jest funkcją okresową o okresie `2\pi`, a ponieważ wielomian wielomian w przedziale `[-1,1]` może zerować się tylko w skończenie wielu punktach, odległości między zerami lewej strony są ograniczone z dołu.
To pokazuje, że żaden wielomian stopnia większego niż `1` nie może rozwiązywać zadanego równania.
2) `W(x)=ax+b`
Równanie przybiera postać `a\sin x+b=\sin(ax+b)`. Kładąc `x=0` dostajemy `\sin b=b`, skąd `b=0`
Różniczkując trzykrotnie równanie `a\sin x=\sin ax` otrzymujemy `-a\cos x=-a^3\cos ax`, i dla `x=0` mamy `a=a^3`, czyli `a=-1, 1` lub `1`, co prowadzi do trzech rozwiązań: `W(x)\equiv 0,\ W(x)=x` i `W(x)=-x`
Dodano po 1 godzinie 16 minutach 27 sekundach:
Inny argument za 1).
Różniczkując równanie dostajemy
`W'(\sin x)\cos x=W'(x)\cos W(x)`
Lewa strona jest ograniczona, bo \(\displaystyle{ \lvert W'(\sin x)\cos x\rvert\le \max_{x\in[-1,1]}\vert W'(x)\vert}\)
Z drugiej strony zaś dla naturalnych `k` i \(\displaystyle{ x_k=\max\{0,\max\{x: \vert W(x)\vert =k\pi\}\}}\) mamy \(\displaystyle{ \lim_{k\to\infty} x_k=\infty}\), a stąd wynika, że
\(\displaystyle{ \vert W'(x_k)\vert \cos \vert W(x_k)\vert= \vert W'(x_k)\vert\to\infty}\)
Dodano po 3 godzinach 28 minutach 31 sekundach:
.
1) Stopień `W` jest większy niż `1`.
Jeżeli `W` spełnia równanie, to `-W` też, więc możemy założyć, że `\lim_{x\to\infty} W(x)=\infty`.
Weźmy dowolne `\varepsilon>0`. Pochodna `W` też dąży do nieskończoności dla dużych `x`, więc dla `\xi>X` mamy `W'(\xi)>\pi/\varepsilon`.
Korzystając z własności Darboux znajdziemy `x_\varepsilon, y_\varepsilon>X` takie, że dla pewnego `k\in\NN` zachodzi `W(x_\varepsilon)=k\pi` i `W(y_\varepsilon)=(k+1)\pi`. Na mocy twierdzenia Lagrange'a dostajemy
`\pi=W(y_\varepsilon)-W(y_\varepsilon)=W'(\xi)(y_\varepsilon-x_\varepsilon)>\pi/\varepsilon (y_\varepsilon-x_\varepsilon)`, skąd `0<y_\varepsilon-x_\varepsilon<\varepsilon` .
Widzimy zatem, że prawa strona wyjściowego równania ma zera, które leżą dowolnie blisko siebie.
Lewa strona jest funkcją okresową o okresie `2\pi`, a ponieważ wielomian wielomian w przedziale `[-1,1]` może zerować się tylko w skończenie wielu punktach, odległości między zerami lewej strony są ograniczone z dołu.
To pokazuje, że żaden wielomian stopnia większego niż `1` nie może rozwiązywać zadanego równania.
2) `W(x)=ax+b`
Równanie przybiera postać `a\sin x+b=\sin(ax+b)`. Kładąc `x=0` dostajemy `\sin b=b`, skąd `b=0`
Różniczkując trzykrotnie równanie `a\sin x=\sin ax` otrzymujemy `-a\cos x=-a^3\cos ax`, i dla `x=0` mamy `a=a^3`, czyli `a=-1, 1` lub `1`, co prowadzi do trzech rozwiązań: `W(x)\equiv 0,\ W(x)=x` i `W(x)=-x`
Dodano po 1 godzinie 16 minutach 27 sekundach:
Inny argument za 1).
Różniczkując równanie dostajemy
`W'(\sin x)\cos x=W'(x)\cos W(x)`
Lewa strona jest ograniczona, bo \(\displaystyle{ \lvert W'(\sin x)\cos x\rvert\le \max_{x\in[-1,1]}\vert W'(x)\vert}\)
Z drugiej strony zaś dla naturalnych `k` i \(\displaystyle{ x_k=\max\{0,\max\{x: \vert W(x)\vert =k\pi\}\}}\) mamy \(\displaystyle{ \lim_{k\to\infty} x_k=\infty}\), a stąd wynika, że
\(\displaystyle{ \vert W'(x_k)\vert \cos \vert W(x_k)\vert= \vert W'(x_k)\vert\to\infty}\)
Dodano po 3 godzinach 28 minutach 31 sekundach:
.