Matematyka.pl

Jak rozłożyć ten wielomian do najbardziej przystępnej postaci:
\(\displaystyle{ x^4+6x^3+11x^2+6x+1}\)
nie do postaci tego typu: \(\displaystyle{ 1 + x (6 + x (11 + x (6 + x)))}\)
Proszę o kroki rozwiązania.

Wystarczy, że odpowiesz sobie na jedno zajebiście, ale to zajebiście, ważne pytanie: co lubię w życiu robić. A potem zacznij to robić. Ja na przykład lubię zapisywać wielomiany czwartego stopnia w postaci


Więc do rozwiązania jest układ

Po chwili namysły rozwiązanie można zgadnąć; \(\displaystyle{ a=c=3}\), \(\displaystyle{ b=d=1}\) więc ten wielomian to \(\displaystyle{ \left( x^2+3x+1\right)^2 }\) co z użyciem \(\displaystyle{ \Delta}\) można dalej rozłożyć. Pewnie można też zauważyć, że jak się wyciągnie \(\displaystyle{ x^2}\) to powstaną wyrażenia postaci \(\displaystyle{ x^2+1/x^2}\), \(\displaystyle{ x+1/x}\). Wprowadzając nową zmienną możliwe, że uprościmy to też do powyższej postaci lub co jest równoważne w naszej sytuacji znajdziemy pierwiastki.

PS co to jest najbardziej przydatna postać? Dla algorytmu Hornera postać \(\displaystyle{ 1 + x (6 + x (11 + x (6 + x)))}\) jest najbardziej przydatna.

Pewnie można też zauważyć, że jak się wyciągnie \(\displaystyle{ x^2}\) to powstaną wyrażenia postaci \(\displaystyle{ x^2+1/x^2}\), \(\displaystyle{ x+1/x}\). Wprowadzając nową zmienną możliwe, że uprościmy to też do powyższej postaci lub co jest równoważne w naszej sytuacji znajdziemy pierwiastki.

Możesz napisać jak to zrobić tą metodą?

Jeśli to wyrażanie ma się wyzerować to stanie się tak za względy na nawias, a nie \(\displaystyle{ x^2}\). Więc sprawdzamy kiedy


co w nowej zmiennej \(\displaystyle{ t= x+1/x}\) oznacza rozwiązanie równania kwadratowego


PS tu oczywiście \(\displaystyle{ \xi=6}\), \(\displaystyle{ \eta=11}\). Ale metoda działa zawsze.

Czy ja wiem czy warto wydzielać ten przypadek szczególny

Rozwiązując to równanie metodą ogólną dostajemy

\(\displaystyle{ a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{3}x+a_{4}=0\\
x^{4}+\frac{a_{3}}{a_{4}}x^3+\frac{a_{2}}{a_{4}}x+\frac{a_{3}}{a_{4}}x+1=0\\
\left( x^4+\frac{a_{3}}{a_{4}}x^3\right)-\left( -\frac{a_{2}}{a_{4}}x^2 - \frac{a_{3}}{a_{4}}x - 1\right) =0\\
\left( x^4+2\frac{a_{3}}{2a_{4}}x^3+\frac{a_{3}^2}{4a_{4}^2}x^2\right)-\left( \frac{a_{3}^2-4a_{4}a_{2}}{4a_{4}^2}x^2 - \frac{a_{3}}{a_{4}}x - 1\right) = 0\\
\left( x^2 + \frac{a_{3}}{2a_{4}}x\right)^2 - \left(\frac{a_{3}^2-4a_{4}a_{2}}{4a_{4}^2}x^2 - \frac{a_{3}}{a_{4}}x - 1 \right) = 0\\
\left( x^2 + \frac{a_{3}}{2a_{4}}x+\frac{y}{2}\right)^2 - \left( \left( y + \frac{a_{3}^2-4a_{4}a_{2}}{4a_{4}^2}\right)x^2+\left(\frac{a_{3}}{2a_{4}}y - \frac{a_{3}}{a_{4}}\right)x+\frac{y^2}{4} - 1 \right) = 0\\
\Delta = 0\\
4\left(\frac{y^2}{4} - 1 \right)\left( y + \frac{a_{3}^2-4a_{4}a_{2}}{4a_{4}^2}\right) - \left(\frac{a_{3}}{2a_{4}}y - \frac{a_{3}}{a_{4}}\right)^2=0\\
\left( y^2 - 4\right) \left( y + \frac{a_{3}^2-4a_{4}a_{2}}{4a_{4}^2}\right) - \frac{a_{3}^2}{4a_{4}^2}\left( y-2\right)^2 =0\\
\left( y - 2\right)\left( y+2\right) \left( y + \frac{a_{3}^2-4a_{4}a_{2}}{4a_{4}^2}\right) - \frac{a_{3}^2}{4a_{4}^2}\left( y-2\right)\left( y-2\right) =0\\
\left( y - 2\right) \left(\left( y+2\right) \left( y + \frac{a_{3}^2-4a_{4}a_{2}}{4a_{4}^2}\right) - \frac{a_{3}^2}{4a_{4}^2}\left( y - 2\right) \right) =0\\
}\)

Czyli równanie rozwiązujące trzeciego stopnia dla tego przypadku tuż po przyrównaniu wyróżnika wyrażenia w prawym nawiasie do zera
jest już częściowo rozłożone na czynniki więc łatwo znaleźć jego pierwiastki