Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ W(x)=x^4+x^3+x^2+x+1}\). Wyznaczyć resztę z dzielenia \(\displaystyle{ W(x^5)}\) przez \(\displaystyle{ W(x)}\).

\(\displaystyle{ x^{5k}=(x^5-1+1)^k=((x-1)W(x)+1)^k=1 \ \mathrm{mod}\ W(x)}\)
Zatem \(\displaystyle{ W(x^5)=5\ \mathrm{mod}\ W(x)}\)

Co więcej, dla dowolnego wielomianu `P` zachodzi
\(\displaystyle{ P(x^5)=P(1)\ \mathrm{mod}\ W(x)}\)

Inne rozwiązanie: niech `P` będzie dowolnym wielomianem i `P(x^5)=Q(x)W(x)+R(x)`, gdzie `R` jest wielomianem stopnia co najwyżej `3`. Jeżeli `W(a)=0`, to `a^5=1`, w szczególności `P(1)=R(a)`. `R` przyjmuje wartość `P(1)` w czterech miejscach, z zatem jest stały.

inne ?!: \(\displaystyle{ W(x^5) = (x^{20}-1 ) +(x^{15}-1)+ (x^{10}-1) + (x^{5}-1)+5 }\).