Dowieść, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ x^4+ax+b}\) ma pierwiastek dwukrotny, to \(\displaystyle{ 27a^4=256b^3}\).
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
To jest wielomian czwartego stopnia i ma podwójny pierwiastek i współczynnik przy \(\displaystyle{ x^4}\) jest równy jeden, zatem można go zapisać tak:
\(\displaystyle{ x^4+ax+b=(x-c)^2(x^2+dx+e)}\), dla pewnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ c,d,e}\).
Teraz możemy to przemnożyć:
\(\displaystyle{ =(x^2-2cx+c^2)(x^2+dx+e)=}\)
\(\displaystyle{ =x^4+dx^3+ex^2-2cx^3-2cdx^2-2cex+c^2x^2+c^2dx+c^2e=}\)
\(\displaystyle{ x^4+(d-2c)x^3+(c^2-2cd+e)x^2+(c^2d-2ce)x+c^2e}\). Porównujemy współczynniki:
\(\displaystyle{ d-2c=0}\), zatem \(\displaystyle{ d=2c}\)
\(\displaystyle{ c^2-2cd+e=0}\), zatem \(\displaystyle{ c^2-4c^2+e=0}\), zatem \(\displaystyle{ e=3c^2}\)
\(\displaystyle{ c^2d-2ce=a}\) i
\(\displaystyle{ c^2e=b}\), zatem
\(\displaystyle{ 2c^3-6c^3=a}\)
\(\displaystyle{ 3c^4=b}\)
\(\displaystyle{ a=-4c^3}\), zatem
\(\displaystyle{ c= \sqrt[3]{-\frac{a}{4}} }\)
\(\displaystyle{ 3(-\frac{a}{4}) \sqrt[3]{-\frac{a}{4}}=b }\), zatem
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-\frac{a}{4}}=-\frac{4}{3} \frac{b}{a} }\) czyli
\(\displaystyle{ \frac{a}{4}= \frac{64b^3}{27a^3} }\) czyli
\(\displaystyle{ 27a^4=256b^3}\).
Czy tak jest dobrze?
Dodano po 1 dniu 53 minutach 14 sekundach:
Podbijam pytanie.