Wyznaczyć wielomiany \(\displaystyle{ P}\) dla których
\(\displaystyle{ P(x)P(2x^2+1) = P(x^2)(P(2x+1)-4)}\)
gdy \(\displaystyle{ x \in \RR.}\)
Jaki wielomian ?
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13436
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3429 razy
- Pomógł: 809 razy
-
arek1357
Re: Jaki wielomian ?
Mam pewne przemyślenia co do tego zadania, wykazałem, że jeżeli \(\displaystyle{ P(x)}\) ma pierwiastki to są one:
\(\displaystyle{ 0, \pm 1, - \frac{1}{2} }\)
Ale przy takich założeniach dochodzę do sprzeczności, że takiego wielomianu nie ma, a może ktoś inny ma coś lepszego i byłbym ciekawy zobaczyć jakie są propozycje do tego skądinąt ciekawego zadania...
\(\displaystyle{ 0, \pm 1, - \frac{1}{2} }\)
Ale przy takich założeniach dochodzę do sprzeczności, że takiego wielomianu nie ma, a może ktoś inny ma coś lepszego i byłbym ciekawy zobaczyć jakie są propozycje do tego skądinąt ciekawego zadania...
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 36105
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 5347 razy
Re: Jaki wielomian ?
W jaki sposób wielomian \(\displaystyle{ P(x)=1}\) miałby być dobry? Zawsze wydawało mi się, że \(\displaystyle{ 1\cdot 1\ne 1\cdot (1-4).}\)
-
arek1357
Re: Jaki wielomian ?
\(\displaystyle{ \pm 1, 0, - \frac{1}{2} }\)
Chodziło mi o to, że są to pierwiastki jakiegoś wielomianu, bo wykazałem, że jeżeli jakiś nietrywialny wielomian miałby spełniać to równanie to
powinien mieć takie pierwiastki, ale przy tym założeniu i przy dalszych obliczeniach dochodziłem do sprzeczności i wychodziło mi, że tylko wielomian zerowy spełnia to równanie, ale nie chce mi się w to wierzyć i dlatego się pytam czy może ktoś to liczył i znalazł coś sensownego...
Podstawiałem coś takiego:
\(\displaystyle{ P(x)=x^k(x-1)^l(x+1)^l(x+ \frac{1}{2} )^s}\)
Daje to potem sprzeczność...
Chodziło mi o to, że są to pierwiastki jakiegoś wielomianu, bo wykazałem, że jeżeli jakiś nietrywialny wielomian miałby spełniać to równanie to
powinien mieć takie pierwiastki, ale przy tym założeniu i przy dalszych obliczeniach dochodziłem do sprzeczności i wychodziło mi, że tylko wielomian zerowy spełnia to równanie, ale nie chce mi się w to wierzyć i dlatego się pytam czy może ktoś to liczył i znalazł coś sensownego...
Podstawiałem coś takiego:
\(\displaystyle{ P(x)=x^k(x-1)^l(x+1)^l(x+ \frac{1}{2} )^s}\)
Daje to potem sprzeczność...