Matematyka.pl

Zadanie brzmiało: Uzasadnić równowartościowość funkcji na wskazanych zbiorach.
\(\displaystyle{ f(x) = x^{5} }\), zbiór to liczby rzeczywiste.
Dowód nie wprost:
Zakładamy, że funkcja \(\displaystyle{ f(x) = x^{5} }\) nie jest różnowartościowa, \(\displaystyle{ x_{1} \neq x_{2}, f(x _{1}) = f(x _{2}) }\)
Postawiam pod \(\displaystyle{ f(x _{1}), f(x _{2}) }\) ze wzoru \(\displaystyle{ x^{5} }\) dla \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2} }\)
\(\displaystyle{ x _{1} ^{5} = x _{2} ^{5} /-x _{2} ^{5}}\)
\(\displaystyle{ x _{1} ^{5} - x _{2} ^{5} = 0 }\)
Rozkładamy lewą stronę korzystając ze wzoru na różnicę piątych potęg:
\(\displaystyle{ (x _{1}-x _{2})(x _{1}^{4} + x _{1}^{3} x_{2} + x_{1}^{2}x_{2}^{2} + x_{1}x_{2}^{3} + x_{2}^{4})=0}\)
No i wychodzi sprzeczność, która udowadnia nie wprost równowartościowość f(x), ponieważ jeden i drugi czynnik nie są zerem, jednak nie umiem dowieść, że drugi czynnik jest zawsze dodatni tak jak mówi odpowiedz zadania, które robię. Byłbym wdzięczny za pomoc!

praevisa pisze: 27 paź 2024, o 13:56 Zadanie brzmiało: Uzasadnić równowartościowość funkcji na wskazanych zbiorach.
\(\displaystyle{ f(x) = x^{5} }\), zbiór to liczby rzeczywiste.

Najprościej użyć pochodną...

praevisa pisze: 27 paź 2024, o 13:56 Zakładamy, że funkcja \(\displaystyle{ f(x) = x^{5} }\) nie jest różnowartościowa, \(\displaystyle{ x_{1} \neq x_{2}, f(x _{1}) = f(x _{2}) }\)

Dokładniej:

Zakładamy, że funkcja \(\displaystyle{ f(x) = x^{5} }\) nie jest różnowartościowa, czyli istnieją \(\displaystyle{ \red{ x_{1}, x_{2}\in\RR}}\) takie, że \(\displaystyle{ x_{1} \neq x_{2}}\) i \(\displaystyle{ f(x _{1}) = f(x _{2}).}\)

praevisa pisze: 27 paź 2024, o 13:56Postawiam pod \(\displaystyle{ f(x _{1}), f(x _{2}) }\) ze wzoru \(\displaystyle{ x^{5} }\) dla \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2} }\)
\(\displaystyle{ x _{1} ^{5} = x _{2} ^{5} /-x _{2} ^{5}}\)
\(\displaystyle{ x _{1} ^{5} - x _{2} ^{5} = 0 }\)
Rozkładamy lewą stronę korzystając ze wzoru na różnicę piątych potęg:
\(\displaystyle{ (x _{1}-x _{2})(x _{1}^{4} + x _{1}^{3} x_{2} + x_{1}^{2}x_{2}^{2} + x_{1}x_{2}^{3} + x_{2}^{4})=0}\)
No i wychodzi sprzeczność, która udowadnia nie wprost równowartościowość f(x), ponieważ jeden i drugi czynnik nie są zerem,

A skąd wiesz, że drugi czynnik nie jest zerem?

praevisa pisze: 27 paź 2024, o 13:56jednak nie umiem dowieść, że drugi czynnik jest zawsze dodatni tak jak mówi odpowiedz zadania, które robię.

\(\displaystyle{ x _{1}^{4} + x _{1}^{3} x_{2} + x_{1}^{2}x_{2}^{2} + x_{1}x_{2}^{3} + x_{2}^{4}=x_1^2\left( x_1+\frac{x_2}{2}\right)^2+x_2^2\left( x_2+\frac{x_1}{2}\right)^2 +\frac12x_1^2x_2^2.}\)

JK