Matematyka.pl

Znajdź największą wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin(x)-\cos(x)}\) korzystając z nierówności Schwarza.

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Podpowiedź: \(\displaystyle{ f(x) = 1 \cdot \sin(x) + (-1) \cdot \cos(x)}\).

No dobra to idąc tym tokiem mogę napisać, że z nierówności Schwarza
\(\displaystyle{ (1\cdot \sin x+(-1)\cos x)^2 \le (1^2+(-1)^2)(\sin^2x+\cos^2x)}\), a z tego wynika, że
\(\displaystyle{ \sin x-\cos x \le \sqrt{2}}\).
Teraz szukamy argumentu \(\displaystyle{ x}\) dla którego jest \(\displaystyle{ \sin x-\cos x=\sqrt{2}}\). Podnosimy obustronnie do kwadratu i mamy
\(\displaystyle{ 1-\sin 2x=2}\) czyli
\(\displaystyle{ \sin 2x=-1}\).
Teraz jeśli \(\displaystyle{ x \in (0^\circ,180^\circ)}\), to
\(\displaystyle{ x=135^\circ}\).

Dobrze?

podnosimy obustronnie do kwadratu i

lub też z \(\displaystyle{ \sin(x) - \cos(x) = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4} )}\)

Żeby pozostać w duchu zadania (schwarz) , lepiej odpowiedzieć na pytanie kiedy w tej nierówności jest równość, co prowadzi do równania `\sin x=-\cos x`

A co gdy mamy \(\displaystyle{ \sin(ax) - \cos(bx)}\)