Matematyka.pl

Zadanie

Proszę wyznaczyć, o ile istnieje okres podstawowy funkcji \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR }\) określonej wzorem

\(\displaystyle{ f(x) = \sin(3x) + 3\sin(4x). }\)

Rozwiązanie

Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ T }\) jest okresem tej funkcji. Wówczas wobec definicji funkcji okresowej musi zachodzić równość

\(\displaystyle{ \sin(3x + 3T) + 3\sin(4x + 4T) = \sin(3x) + 3\sin(4x), }\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in \RR \ \ (1) }\)

W szczególności równość \(\displaystyle{ (1) }\) musi zachodzić dla \(\displaystyle{ x_{1} = 0 }\) i \(\displaystyle{ x_{2} = \frac{\pi}{2}. }\)

Otrzymujemy układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin(3T) + 3\sin(4T) = 0 \\ \sin\left(\frac{3}{2}\pi +3T\right) + 3\sin(2\pi +4T) = -1 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin(3T) + 3\sin(4T) = 0 \\ -\cos(3T) + 3\sin( 4T) = -1 \end{cases} \ \ (2) }\)

Jeżeli z układu \(\displaystyle{ (2) }\) uda nam się wyznaczyć \(\displaystyle{ T, }\) to fakt ten będzie oznaczał jego istnienie.

Odejmując drugie równanie od pierwszego, otrzymujemy równanie

\(\displaystyle{ \sin(3T) + \cos(3T) = 1 \ \ (3) }\)

Znajdujemy kolejno jego rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \sin(3T) + \cos(3T) = 1 \leftrightarrow \sin(3T) +1\cdot \cos(3T) = 1 \leftrightarrow \sin(3T) + \tg\left(\frac{1}{4}\pi \right) \cos(3T) = 1 \leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \leftrightarrow \sin(3T)\cos\left(\frac{1}{4}\pi \right)+\sin\left(\frac{1}{4}\pi \right) \cos(3T) = \cos\left(\frac{1}{4}\pi\right) \leftrightarrow \sin\left(\frac{1}{4}\pi + 3T\right) = \sin\left(\frac{1}{4}\pi \right). }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \frac{1}{4}\pi + 3T = \frac{1}{4}\pi + 2k\pi, }\)

\(\displaystyle{ T = \frac{2}{3}k\pi, \ \ k\in \ZZ. }\)

Liczba \(\displaystyle{ T }\) nie jest tu jednoznacznie wyznaczona. Ponadto liczba ta spełnia równanie \(\displaystyle{ (3), }\) ale może nie spełniać obu równań rozważanego układu \(\displaystyle{ (2).}\)

Sprawdzimy dla jakich \(\displaystyle{ k\in \ZZ }\) liczba \(\displaystyle{ T = \frac{2}{3}\cdot k\cdot \pi }\) spełnia oba równania układu \(\displaystyle{ (2). }\)

Po podstawieniu \(\displaystyle{ T = \frac{2}{3}\cdot k\cdot \pi }\) do równań \(\displaystyle{ (2) }\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin(2\cdot k\cdot \pi) + 3\sin\left(\frac{8}{3}\cdot k\cdot \pi\right) = 0 \\ -\cos(2\cdot k\cdot \pi)+ 3\sin\left(\frac{8}{3}\cdot k\cdot \pi \right) = -1 \end{cases} \ \ (3) }\)

Zauważmy, że liczba \(\displaystyle{ T }\) spełnia układ \(\displaystyle{ (2) }\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ k, \ \ k\in \ZZ }\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3,}\) to znaczy jest ona postaci \(\displaystyle{ k = 3\cdot s, \ \ s\in \ZZ. }\)

Mamy wtedy

\(\displaystyle{ \begin{cases} k = 3s \wedge \sin\left(3\cdot \frac{2}{3} \cdot k\cdot \pi \right) +3\sin\left(4\cdot \frac{2}{3}\cdot k\cdot \pi \right) = \sin(6\cdot s\cdot \pi) + 3\sin(8\cdot s\cdot \pi) = 0 +3\cdot 0 = 0 \\ k = 3\cdot s \wedge -\cos\left(3\cdot \frac{2}{3}\cdot k\cdot \pi \right) +3\sin\left(4\cdot \frac{2}{3}\cdot k\cdot \pi \right) = -\cos(6\cdot s\cdot \pi) + 3\sin(8\cdot s\cdot \pi) = -1 + 0 = -1. \end{cases} }\)

Wobec powyższego \(\displaystyle{ T = \frac{2}{3}\cdot k \cdot \pi }\) dla \(\displaystyle{ k = 3\cdot s }\) i \(\displaystyle{ s \in \ZZ }\) jest okresem tej funkcji.

Okres podstawowy \(\displaystyle{ T_{0} }\) tej funkcji otrzymamy dla najmniejszej dodatniej liczby całkowitej podzielnej przez \(\displaystyle{ 3,}\) to znaczy dla \(\displaystyle{ k = 3,}\)

\(\displaystyle{ T_{0} = \frac{2}{3}\cdot 3 \cdot \pi = 2\pi.}\)

Są błędy:

- równanie \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{\pi}{4} + 3T \right) = \sin \frac{\pi}{4}}\) ma dwa rodzaje rozwiązań, a Ty uwzględniłeś tylko jeden z nich.

- sprawdzenie warunku okresowości \(\displaystyle{ f(x+T) = f(x)}\) dla dwóch konkretnych iksów - tak jak to uczyniłeś w końcówce, sprawdzając że \(\displaystyle{ T}\) spełnia układ równań - nie dowodzi, że \(\displaystyle{ T}\) jest okresem. Żeby nim był, rzeczona równość musi zachodzi dla wszystkich iksów, nie tylko dla wybranych dwóch.

I jeszcze:

janusz47 pisze: 23 sie 2020, o 19:45Jeżeli z układu \(\displaystyle{ (2) }\) uda nam się wyznaczyć \(\displaystyle{ T, }\) to fakt ten będzie oznaczał jego istnienie.

Znów: z istnienia rozwiązania układu dwóch równań nie wynika istnienie okresu, bo bycie okresem to coś jak bycie rozwiązaniem układu continuum równań, nie tylko dwóch.

Drugie rozwiązanie równania \(\displaystyle{ T = \frac{1}{6}\pi +\frac{2}{3} k \pi, \ \ k\in \ZZ }\) nie spełnia jednocześnie równań układu \(\displaystyle{ (2), }\) więc można je pominąć.
Należało ten przypadek rozważyć.

Równanie \(\displaystyle{ (1) }\) jest spełnione dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in \RR, }\) a więc w szczególności dla \(\displaystyle{ x = 0 }\) i \(\displaystyle{ x = \frac{1}{2}\pi. }\)
W tym założeniu nie ma błędu.

Nie ma takiego pojęcia w matematyce jak "układ continuum równań".

janusz47 pisze: 25 sie 2020, o 18:30Równanie \(\displaystyle{ (1) }\) jest spełnione dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in \RR, }\) a więc w szczególności dla \(\displaystyle{ x = 0 }\) i \(\displaystyle{ x = \frac{1}{2}\pi. }\)
W tym założeniu nie ma błędu.

Ale błędem jest skorzystanie z (nieprawdziwej) implikacji odwrotnej:

janusz47 pisze: 23 sie 2020, o 19:45Zauważmy, że liczba \(\displaystyle{ T }\) (\(\displaystyle{ \textstyle = \frac{2}{3}\cdot k\cdot \pi }\) - przyp.) spełnia układ \(\displaystyle{ (2) }\) wtedy i tylko wtedy, gdy [...] \(\displaystyle{ k = 3\cdot s, \ \ s\in \ZZ. }\)
[...]
Wobec powyższego \(\displaystyle{ T = \frac{2}{3}\cdot k \cdot \pi }\) dla \(\displaystyle{ k = 3\cdot s }\) i \(\displaystyle{ s \in \ZZ }\) jest okresem tej funkcji.

janusz47 pisze: 25 sie 2020, o 18:30

Nie ma takiego pojęcia w matematyce jak "układ continuum równań".

Co nie znaczy, że dla istnienia okresu nie musi być spełnionych continuum równań.

Przykro mi, ale nie ma takiego pojęcia w matematyce "continuum równań".

Jest zbiór mocy continunum. Jest konkurs matematyczny CONTINUUM.

Pojęcia definiuje człowiek, więc twierdzenie, że "nie ma i kropka" jest trochę nieodpowiednie. Możesz jedynie powiedzieć, że nie ma w użyciu, albo że nie znasz. Może też ono nie mieć sensu z punktu widzenia matematyczno-językowego, ale w tym przypadku nie widzę problemu żeby ten sens mu nadać. Można rozważać zbiór równań o pewnych własnościach i taki zbiór może już mieć moc continuum. I możemy sobie zdefiniować "continuum równań" jako zbiór równań o mocy continuum.

W matematyce i nie tylko w fizyce jak i w i innych naukach przyrodniczych powinniśmy dążyć do pewnej ścisłości wypowiedzi.

Pojęcie zbioru układów równań mocy continuum nie jest pojęciem przyjętym w teorii mnogości tym bardziej w matematyce.

Nie ma ono sensu.

Oczywiście dla własnej wygody można takie pojęcie wprowadzić i nim się posługiwać.

Chrońmy matematykę się od zaśmiecania takimi "dziwolągami".

Pojęcia "continuum równań" użyłem raczej w charakterze malowniczego porównania (układ dwóch równań - nie wystarczy, układ continuum równań - wystarczy), niż jako pojęcia matematycznego. Nie uważam przy tym, że jest to "zaśmiecanie matematyki dziwolągami" - przeciwnie: moim zdaniem każdy środek stylistyczny, który pozwala daną kwestię ująć prościej, zbytnio jej przy tym nie wypaczając, jest wartościowy.

Ale jeśli już musisz się tego czepiać, to przynajmniej nie odwołuj się przy tym do nieprawdziwych twierdzeń. Pojęcie "zbioru continuum równań" nie tylko ma sens, ale wręcz istnieje w logice. Każdy typ częściowy w teorii pierwszego rzędu jest zbiorem formuł. Nie ma żadnych przeszkód, żeby ów zbiór był mocy continuum a owe formuły były równaniami, jak przykładowo formuła \(\displaystyle{ x \ast x \ast x = e}\) w języku grup albo \(\displaystyle{ (x+1) \cdot (x+1+1+1) = 0}\) w języku pierścieni z jednością.

Dasio11. Ja się nie czepiam. Wyraziłem swoją opinię na temat Twojego pojęcia.

Jeśli Cię uraziłem za "dziwoląga" to przepraszam.

Myślę, że bardziej istotne jest to, że w rozwiązaniu powyżej jest błąd i Dasio11 bardzo słusznie zwrócił na to uwagę.

Gdzie jest błąd?

Slup pisze: 28 sie 2020, o 11:10 Myślę, że bardziej istotne jest to, że w rozwiązaniu powyżej jest błąd i Dasio11 bardzo słusznie zwrócił na to uwagę.

ale janusz47 jest miszczem zasłony dymnej i arcymiszczem nieprzyznawania się do błędów

a4karo

Ta ocena nic nie wnosi do dalszej dyskusji dotyczącej wyznaczenia poprawności okresu podstawowego tych funkcji.

Wracając do meritum:

janusz47 pisze: 28 sie 2020, o 14:21Gdzie jest błąd?

Dasio11 pisze: 25 sie 2020, o 18:58 Ale błędem jest skorzystanie z (nieprawdziwej) implikacji odwrotnej:

janusz47 pisze: 23 sie 2020, o 19:45Zauważmy, że liczba \(\displaystyle{ T }\) (\(\displaystyle{ \textstyle = \frac{2}{3}\cdot k\cdot \pi }\) - przyp.) spełnia układ \(\displaystyle{ (2) }\) wtedy i tylko wtedy, gdy [...] \(\displaystyle{ k = 3\cdot s, \ \ s\in \ZZ. }\)
[...]
Wobec powyższego \(\displaystyle{ T = \frac{2}{3}\cdot k \cdot \pi }\) dla \(\displaystyle{ k = 3\cdot s }\) i \(\displaystyle{ s \in \ZZ }\) jest okresem tej funkcji.

JK