Matematyka.pl

Szukałem, szukałem i nie znalazłem wzoru w postaci tangensów kątów. Udało mi się wzór wyprowadzić. Czy ktoś widział ten wzór w innym miejscu?

\(\displaystyle{ \tg( \frac{ \alpha + \beta }{2} )= \frac{\tg( \alpha ) \sqrt{ \tg^{2}( \beta )+1} +\tg( \beta ) \sqrt{ \tg^{2}( \alpha )+1}}{ \sqrt{ \tg^{2}( \alpha )+1}+\sqrt{ \tg^{2}( \beta )+1}} }\)

Niestety wzór dla pewnych warunków zmienia się na z plusów na minusy (bez podpierwiastkowych).

Dodano po 2 dniach 10 minutach 48 sekundach:
Taki wzorek dla kątów ostrych
\(\displaystyle{ \tg( \frac{ \sum_{i=1}^{n} \alpha _i}{n})= \frac{ \sum_{i=1}^{n}\tg( \alpha _i) \cdot ( \prod_{ j \neq i}^{}\sqrt{ \tg^{2} \alpha _j+1} ) }{ \sum_{i=1}^{n}( \prod_{j \neq i}^{ }\sqrt{ \tg^{2} \alpha _j+1} ) } }\)

Dodano po 6 dniach 21 godzinach 40 minutach 6 sekundach:

Brombal pisze: 13 mar 2024, o 13:45
\(\displaystyle{ \tg( \frac{ \sum_{i=1}^{n} \alpha _i}{n})= \frac{ \sum_{i=1}^{n}\tg( \alpha _i) \cdot ( \prod_{ j \neq i}^{}\sqrt{ \tg^{2} \alpha _j+1} ) }{ \sum_{i=1}^{n}( \prod_{j \neq i}^{ }\sqrt{ \tg^{2} \alpha _j+1} ) } }\)

Niestety ten wzorek drugi jest wadliwy
Za to można wyprowadzić taki

\(\displaystyle{ \tan( \frac{ \alpha }{2} )= \frac{\tan( \alpha )}{1+ \sqrt{\tan ^{2} ( \alpha )+1} } }\)

Brombal pisze: 20 mar 2024, o 11:25
Niestety ten wzorek drugi jest wadliwy
Za to można wyprowadzić taki

\(\displaystyle{ \tan( \frac{ \alpha }{2} )= \frac{\tan( \alpha )}{1+ \sqrt{\tan ^{2} ( \alpha )+1} } }\)

Na ogół każdy wzór ma określony zakres stosowania. Ten akurat nie jest prawdziwy dla `\alpha>\pi/2`

a4karo pisze: 20 mar 2024, o 13:19 Na ogół każdy wzór ma określony zakres stosowania. Ten akurat nie jest prawdziwy ...

Tak dla drugiej i trzeciej ćwiartki przyjmuje postać
\(\displaystyle{ \tan( \frac{ \alpha }{2} )= \frac{\tan( \alpha )}{1+ \sqrt{\tan ^{2} ( \alpha )-1} } }\)

Nie

Racja
Wzór jest następujący dla tych ćwiartek
\(\displaystyle{ \tan( \frac{ \alpha }{2})= \frac{\tan( \alpha )}{ 1-\sqrt{\tan ^{2}( \alpha )+1 } } }\)

Nie znalazłem tych wzorów czy są znane?

Zgaduj dalej

Brombal wg mnie chodzi tu o znak
Jedna strona równości jest dodatnia a druga ujemna
Domnożenie funkcji signum mogłoby pomóc jednak nadal będzie problem z \(\displaystyle{ \alpha =\frac{\pi}{2}}\)