Matematyka.pl

Wykazać nierówność:
\(\displaystyle{ |\sin x - \sin y| \le |x-y| }\)

Próbowałem podnosić do kwadratu i bawić się wzorami skróconego mnożenia, ale do niczego konkretnego nie doszedłem.
Proszę o pomoc, ew. jakieś wskazówki.

Ze wzoru na różnicę sinusów mamy
\(\displaystyle{ \sin x-\sin y=2\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)}\)
Otrzymujemy zatem
\(\displaystyle{ |\sin x-\sin y|=2\left|\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\right|\left|\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\right|}\)
Teraz wystarczy skorzystać ze znanych nierówności \(\displaystyle{ |\sin t|\le |t|, \ |\cos t|\le 1}\).

Drugą nierówność na pewno znasz, a jak nie znasz pierwszej, to tutaj ładnie udowodniono dla \(\displaystyle{ x>0}\):


Alternatywnie można od razu skorzystać z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej dla funkcji \(\displaystyle{ f(t)=\sin t}\) i oszacować z góry pochodną.

Dla osób, które chcą wiedzieć jak powinno wyglądać rozwiązanie: Problem rozwiązałem za pomocą twierdzenia Lagrange'a. Pochodna z \(\displaystyle{ \sin(c)}\) to \(\displaystyle{ \cos (c)}\). Wystarczy pomnożyć i podstawić za \(\displaystyle{ \sin x - \sin y}\). Skoro \(\displaystyle{ \cos (c)}\) znajduje się w przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\), nierówność jest prawdziwa.

Można też tak: dla `x<y` mamy `\sin y-\sin x=\int_x^y \cos tdt<\int_x^y1 dt=y-x`