Matematyka.pl

Wykaż, że wyrażenie nie jest tożsamością: \(\displaystyle{ -\frac{\cos2 \alpha }{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} =\tg \alpha + \frac{1}{\tg \alpha }}\)

Pytanie jest następujące
Czy wykazanie, że lewa strona jako: \(\displaystyle{ -2\ctg2 \alpha \in \mathbb{R}}\)

oraz prawa jako typowa nierówność: \(\displaystyle{ a+\frac{1}{a} \in \mathbb{R}\backslash (-2;2)}\)
kończy dowód?

W celu wykazania, że nie jest to tożsamość, potrzeba i wystarcza podać kontrprzykład lub uzasadnić istnienie kontrprzykładu. Nie widzę wykorzystania w tym zadaniu własności, o których piszesz.

Dla \(\displaystyle{ \alpha=\frac \pi 4}\) lewa strona równa jest \(\displaystyle{ 0}\), zaś prawa \(\displaystyle{ 2}\).

Moje pytanie dotyczyło tego czy wykazując, że zbiór wartości obu stron jest różny jest już samo w sobie wystarczającym uzasadnieniem bez podawania przykładu, że faktycznie równość nie zachodzi.

A, już chyba widzę, o co Ci chodziło, trochę dziwnie to IMHO sformułowałeś (dlatego lepiej pisać zdaniami), chodzi o to, że wyrażenie \(\displaystyle{ -2\ctg(2\alpha)}\) może przyjmować dowolne wartości rzeczywiste, a to po prawej nie. Tak, to jest wystarczające (a nawet jest to dużo więcej niż potrzeba w zadaniu).

Dla mnie to nie jest takie oczywiste.

Duża część wykazywanych (nawet na tym forum przez Ciebie) tożsamości nie ma jednakowych dziedzin stron.

Np tak zwana ,,mała jedynka trygonometryczna" - iloczyn tangensa i cotangensa równy 1 (może tylko potocznie) nazywana jest tożsamością.

Ale tu nie chodzi o niejednakowe dziedziny, tylko o niejednakowe zbiory wartości.

Masz rację.
Nie wiem jak czytałem powyższe posty.