Matematyka.pl

Wykaż, że
\(\displaystyle{ \frac{1-\sin^4 x-\cos^4 x}{1-\sin^6 x-\cos ^6 x}= \frac{2}{3} }\)

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Zauważmy, że \(\displaystyle{ (\sin^2x+\cos^2x)^2=\sin^4x+2\sin^2x\cos^2x+\cos^4x=1}\), a zatem
\(\displaystyle{ 1-\sin^4x-\cos^4x=2\sin^2x\cos^2x}\) i to jest licznik danego wyrażenia. Dalej
\(\displaystyle{ (\sin^2x+\cos^2x)^3=(\sin^4x+2\sin^2x\cos^2x+\cos^4x)(\sin^2x+\cos^2x)=1}\) czyli
\(\displaystyle{ \sin^6x+2\sin^4x\cos^2x+\sin^2x\cos^4x+\sin^4x\cos^2x+2\sin^2x\cos^4x+\cos^6x=1}\), a zatem
\(\displaystyle{ 1-\sin^6x-\cos^6x=3\sin^4x\cos^2x+3\sin^2x\cos^4x=3\sin^2x\cos^2x(\sin^2x+\cos^2x)=3\sin^2x\cos^2x}\) i to jest mianownik danego wyrażenia. A zatem
\(\displaystyle{ \frac{1-\sin^4 x-\cos^4 x}{1-\sin^6 x-\cos ^6 x}= \frac{2\sin^2x\cos^2x}{3\sin^2x\cos^2x}= \frac{2}{3} }\)

Dobrze?

Dodano po 1 dniu 1 godzinie 4 minutach 23 sekundach:
Podbijam pytanie.

Czy coś Ci nie pasuje w tym rozwiązaniu?

JK

Myślę, że jest w porządku, ale wolę się upewnić.

Więcej pewności siebie.

JK

PS
Jest dobrze.