Matematyka.pl

Wiedząc, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym oraz \(\displaystyle{ \sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{2}}\), oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ (\sin\alpha-\cos\alpha)^2}\).

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania: Z założenia wynika kolejno, że \(\displaystyle{ \sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{2} \Rightarrow 1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{7}{4} \Rightarrow 2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{3}{4}}\). Stąd wynika, że \(\displaystyle{ (\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}}\).

Czy tak jest dobrze?

\(\displaystyle{ \sin(\alpha) + \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{7}}{2}, }\)


\(\displaystyle{ (\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2 = \left(\frac{\sqrt{7}}{2} \right)^2, }\)

\(\displaystyle{ \sin^2(\alpha) + 2\sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 + 2\sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha) = \frac{7}{4} }\)

\(\displaystyle{ 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{7}{4} - 1 = \frac{3}{4} \ \ (*).}\)

\(\displaystyle{ (\sin(\alpha) -\cos(\alpha) ^2 = \sin^2(\alpha) -2\sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \ \ (*) = 1 -\frac{3}{4}= \frac{1}{4}.}\)

Dobrze.

janusz47 pisze: 27 paź 2024, o 22:46Dobrze.

To po co przepisywałeś to samo rozwiązanie?

JK

Żeby przypomnieć jedynkę trygonometryczną i wzory skróconego mnożenia.