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Rozwiąż układ równań: \(\displaystyle{ \begin{cases}\tg^2\left( x+y\right)=3\\y-x=\frac{\pi}{3} \end{cases}, x\in\left\langle 0;\pi\right\rangle,y\in\left\langle 0;\pi\right\rangle}\).
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Moje próby:
\(\displaystyle{ \tg(x+y)=\sqrt{3} \vee \tg(x+y)=-\sqrt{3}\\
\tg t=\sqrt{3},t=\frac{\pi}{3}+k\pi\\
\tg t =-\sqrt{3}, t=-\frac{\pi}{3}+k\pi\\
2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+k\pi\\x=\frac{k\pi}{2}\\
2x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+k\pi\\
x=-\frac{2\pi}{3}+\frac{k\pi}{2}\vee x=\frac{k\pi}{2}\\
y=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{3k\pi+2\pi}{6}\\
y=-\frac{2\pi}{3}+\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{3k\pi-2\pi}{6}}\)
I w tym momencie już mi się coś pomieszało

Bratower pisze:\(\displaystyle{ \tg t=\sqrt{3}, t=\frac{\pi}{3}+k\pi\\
\tg t =-\sqrt{3}, t=-\frac{\pi}{3}+k\pi}\)

Pomijając zapis, moim zdaniem niepotrzebnie trzymasz się tego \(\displaystyle{ k}\). Skoro każda ze zmiennych jest z przedziału \(\displaystyle{ \left[0,\pi\right]}\), to ich suma jest z przedziału \(\displaystyle{ \left[0,2\pi\right]}\), więc masz w pierwszym przypadku \(\displaystyle{ k=0,1}\), a w drugim \(\displaystyle{ k=1,2}\).

\(\displaystyle{ \\x+y\in\left \langle 0;2\pi \right \rangle\\
\begin{cases}x+y=\frac{\pi}{3}+k\pi& k\in\left \{ 0,1 \right \} \\y-x=\frac{\pi}{3}\end{cases}\vee\begin{cases}x+y=-\frac{\pi}{3}+k\pi& k\in\left \{ 1,2 \right \} \\y-x=\frac{\pi}{3}\end{cases}\\}\)
Dla \(\displaystyle{ k=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x+y=\frac{\pi}{3}\\
y-x=\frac{\pi}{3}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}y=\frac{\pi}{3}\\x=0\end{cases}\\}\)
Dla \(\displaystyle{ k=1}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x+y=\frac{4\pi}{3}\\y-x=\frac{\pi}{3}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}y=\frac{5\pi}{6}\\x=\frac{\pi}{2} \end{cases}\vee\begin{cases}x+y=\frac{2\pi}{3}\\y-x=\frac{\pi}{3} \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=\frac{\pi}{2}\\x=\frac{\pi}{6} \end{cases}\\}\)
Dla \(\displaystyle{ k=2}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x+y=\frac{5\pi}{3}\\y-x=\frac{\pi}{3}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=\pi\\x=\frac{2\pi}{3} \end{cases}\\\\}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=\frac{\pi}{3}\\x=0 \end{cases}\vee\begin{cases}y=\frac{5\pi}{6}\\x=\frac{\pi}{2} \end{cases}\vee\begin{cases}y=\frac{\pi}{2}\\x=\frac{\pi}{6}\end{cases}\vee \begin{cases}y=\pi\\x=\frac{2\pi}{3}\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}\tg^2\left( x+y\right)=3\\y-x=\frac{\pi}{3} \end{cases}, x\in\left\langle 0;\pi\right\rangle,y\in\left\langle 0;\pi\right\rangle}\)

Popatrzmy na pierwsze równanie:

\(\displaystyle{ \tg^2\left( x+y\right)=3}\)

\(\displaystyle{ \left( \tg\left( x+y\right)+ \sqrt{3} \right)\left( \tg\left( x+y\right)- \sqrt{3} \right)=0}\)

\(\displaystyle{ (x+y)=- \frac{\pi}{3}+k\pi\ \vee (x+y)= \frac{\pi}{3}+l\pi, \quad \text{gdzie} \quad k, l \in C}\)

Skoro \(\displaystyle{ x\in\left\langle 0;\pi\right\rangle,y\in\left\langle 0;\pi\right\rangle}\) to

\(\displaystyle{ 0 \le x+y \le 2\pi}\)

Zatem \(\displaystyle{ k=1 \vee k=2, \quad l=0 \vee l=1}\)

dostajemy więc cztery układy równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y= - \frac{\pi}{3}+\pi\ \\ y-x=\frac{\pi}{3} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y= - \frac{\pi}{3}+2\pi\ \\ y-x=\frac{\pi}{3} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y= \frac{\pi}{3} \\ y-x=\frac{\pi}{3} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y= \frac{\pi}{3}+\pi \\ y-x=\frac{\pi}{3} \end{cases}}\)

a dalej to już łatwo.