\(\displaystyle{ 2\sin x+3\cos x=6}\)
Wiem, że to równanie nie ma rozwiązania, ale chciałbym poprosić o wytłumaczenie tego, jak rozwiązuje się równania składające się z sumy funkcji trygonometrycznych (w tablicach nic nie znalazłem).
Jak to poprzekształcać? Co z tym zrobić?
suma funkcji trygonometrycznych
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 36105
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 5347 razy
Re: suma funkcji trygonometrycznych
No to jest akurat fatalny przykład, bo tutaj przekształcanie czegokolwiek zupełnie nie ma sensu.
JK
JK
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 36105
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 5347 razy
Re: suma funkcji trygonometrycznych
Np. brute force.
Sinus na drugą stronę, obustronnie do kwadratu, jedynka trygonometryczna, podstawienie \(\displaystyle{ t=\sin x}\) i rozwiązujemy równanie kwadratowe. Na końcu sprawdzamy odpowiedzi i odrzucamy te fałszywe, które pojawiły się przy podnoszeniu do kwadratu.
Jednak przy losowym doborze stałych realizacja może być trudna, bo odpowiedzi wyjdą z arcus sinusami.
JK
Sinus na drugą stronę, obustronnie do kwadratu, jedynka trygonometryczna, podstawienie \(\displaystyle{ t=\sin x}\) i rozwiązujemy równanie kwadratowe. Na końcu sprawdzamy odpowiedzi i odrzucamy te fałszywe, które pojawiły się przy podnoszeniu do kwadratu.
Jednak przy losowym doborze stałych realizacja może być trudna, bo odpowiedzi wyjdą z arcus sinusami.
JK
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3040
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Re: suma funkcji trygonometrycznych
Dla "nielubiących delty" mam jeszcze inny "brute force":
\(\displaystyle{ \blue 2\black \sin x+\red 3\black \cos x = 2}\)
Rozważmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(\displaystyle{ \red a=3}\) oraz \(\displaystyle{ \blue b=2}\), wówczas przeciwprostokątna \(\displaystyle{ c=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}}\).
Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie jednym z kątów ostrych tego trójkąta. Wówczas \(\displaystyle{ \red \sin\alpha \black =\frac ac=\red \frac3{\sqrt{13}}}\) oraz \(\displaystyle{ \blue \cos\alpha \black =\frac bc=\blue \frac2{\sqrt{13}}}\).
Z tego, że \(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac3{\sqrt{13}}}\) wynika, że \(\displaystyle{ \alpha=\arcsin\left( \frac3{\sqrt{13}}\right)\approx 56.31^\circ}\)
Dzieląc początkowe równanie stronami przez \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\), otrzymujemy
\(\displaystyle{ \sin x \cdot \blue \frac2{\sqrt{13}}\black + \cos x \cdot \red \frac3{\sqrt{13}} \black= \frac2{\sqrt{13}}\\ \sin x \cdot \blue \cos\alpha \black + \cos x \cdot \red\sin\alpha\black= \frac2{\sqrt{13}}}\)
Korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ \sin x\cdot \cos \alpha + \cos x \cdot \sin \alpha=\sin (x+\alpha)}\) żeby zwinąć lewą stronę
\(\displaystyle{ \sin (x+\alpha)=\frac2{\sqrt{13}} \\ \sin\left( x+\alpha\right) =\sin\left( \arcsin\left( \frac2{\sqrt{13}}\right) \right) \\ x+\alpha=\arcsin\left( \frac2{\sqrt{13}}\right) +2k\pi \ \vee x+\alpha=\pi-\arcsin \left( \frac2{\sqrt{13}}\right) +2k\pi \\ x=\arcsin\left( \frac2{\sqrt{13}}\right) -\alpha +2k\pi \ \vee x=\pi-\arcsin \left( \frac2{\sqrt{13}}\right)-\alpha +2k\pi \\ x=\arcsin\left( \frac2{\sqrt{13}}\right) -\arcsin\left( \frac3{\sqrt{13}}\right) +2k\pi \ \vee x=\pi-\arcsin \left( \frac2{\sqrt{13}}\right)-\arcsin\left( \frac3{\sqrt{13}}\right) +2k\pi \\ \pi=180^\circ, \ \arcsin \left( \frac2{\sqrt{13}}\right)\approx 33.69^\circ, \ \arcsin \left( \frac3{\sqrt{13}}\right)=56.31^\circ \\ \\ x\approx -22.62^\circ +360^\circ \cdot k \ \vee\ x=90^\circ+360^\circ\cdot k}\)
\(\displaystyle{ \blue 2\black \sin x+\red 3\black \cos x = 2}\)
Rozważmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(\displaystyle{ \red a=3}\) oraz \(\displaystyle{ \blue b=2}\), wówczas przeciwprostokątna \(\displaystyle{ c=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}}\).
Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie jednym z kątów ostrych tego trójkąta. Wówczas \(\displaystyle{ \red \sin\alpha \black =\frac ac=\red \frac3{\sqrt{13}}}\) oraz \(\displaystyle{ \blue \cos\alpha \black =\frac bc=\blue \frac2{\sqrt{13}}}\).
Z tego, że \(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac3{\sqrt{13}}}\) wynika, że \(\displaystyle{ \alpha=\arcsin\left( \frac3{\sqrt{13}}\right)\approx 56.31^\circ}\)
Dzieląc początkowe równanie stronami przez \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\), otrzymujemy
\(\displaystyle{ \sin x \cdot \blue \frac2{\sqrt{13}}\black + \cos x \cdot \red \frac3{\sqrt{13}} \black= \frac2{\sqrt{13}}\\ \sin x \cdot \blue \cos\alpha \black + \cos x \cdot \red\sin\alpha\black= \frac2{\sqrt{13}}}\)
Korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ \sin x\cdot \cos \alpha + \cos x \cdot \sin \alpha=\sin (x+\alpha)}\) żeby zwinąć lewą stronę
\(\displaystyle{ \sin (x+\alpha)=\frac2{\sqrt{13}} \\ \sin\left( x+\alpha\right) =\sin\left( \arcsin\left( \frac2{\sqrt{13}}\right) \right) \\ x+\alpha=\arcsin\left( \frac2{\sqrt{13}}\right) +2k\pi \ \vee x+\alpha=\pi-\arcsin \left( \frac2{\sqrt{13}}\right) +2k\pi \\ x=\arcsin\left( \frac2{\sqrt{13}}\right) -\alpha +2k\pi \ \vee x=\pi-\arcsin \left( \frac2{\sqrt{13}}\right)-\alpha +2k\pi \\ x=\arcsin\left( \frac2{\sqrt{13}}\right) -\arcsin\left( \frac3{\sqrt{13}}\right) +2k\pi \ \vee x=\pi-\arcsin \left( \frac2{\sqrt{13}}\right)-\arcsin\left( \frac3{\sqrt{13}}\right) +2k\pi \\ \pi=180^\circ, \ \arcsin \left( \frac2{\sqrt{13}}\right)\approx 33.69^\circ, \ \arcsin \left( \frac3{\sqrt{13}}\right)=56.31^\circ \\ \\ x\approx -22.62^\circ +360^\circ \cdot k \ \vee\ x=90^\circ+360^\circ\cdot k}\)