Matematyka.pl

Rozwiaz rownanie:
\(\displaystyle{ \sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin4x=0}\)

Rozwiazania które się zgadzają z odpowiedzią to:\(\displaystyle{ x= \pi +2k \pi}\) \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}+k \pi}\). Nie zgadza mi się: \(\displaystyle{ x= \frac{2k \pi }{5}}\) w odpowiedziach jest: \(\displaystyle{ \frac{2 \pi }{5}+k \pi}\)

1.Proszę o rozwiązanie tego równania:
\(\displaystyle{ \sin ^{3} x+\cos ^{3} x=1}\)

2.Rozwiąż
\(\displaystyle{ \sin^{2} x=\sin ^{2} 3x-\sin^{2} x}\)

3.Rozwiąz
\(\displaystyle{ \sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}= \sqrt{2}\sin x}\)-- 23 paź 2016, o 19:47 --ktoś cos?

\(\displaystyle{ sin x+sin4x+sin 2x+sin 3x=0\
2sin frac{5x}{2}cos frac{3x}{2}+2sin frac{5x}{2}cos frac{x}{2}=0\
2sin frac{5x}{2}(cos frac{3x}{2}+cos frac{x}{2})=0 \
2sin frac{5x}{2}(2cos 2xcos x)=0\
x= frac{ pi }{2}+k pi vee 2x= frac{ pi }{2}+k pi vee
ed frac{ 5 }{2}xlack =k pi\
.....}\)


1.
\(\displaystyle{ sin ^{3} x+cos ^{3} x=1}\)
403727.htm
2.
Chyba pomyliłeś treść zadania
3.
\(\displaystyle{ sin frac{x}{2}+cos frac{x}{2}= sqrt{2}sin x\
frac{1}{ sqrt{2}} sin frac{x}{2}+ frac{1}{ sqrt{2}}cos frac{x}{2}=sin x\

ed sin (frac{x}{2}+ frac{ pi }{4} )=sin x\
sin (frac{x}{2}+ frac{ pi }{4} )-sin x=0\
2sin (frac{-x}{4}+ frac{ pi }{8} )cos (frac{3x}{4}+frac{ pi }{8})=0 \
lack
frac{-x}{4}+ frac{ pi }{8}=k pi vee frac{3x}{4}+ frac{ pi }{8}= frac{pi}{2}+k pi\
....}\)

kerajs pisze:\(\displaystyle{ \sin x+\sin4x+\sin 2x+\sin 3x=0\\
2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}+2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}=0\\
2\sin \frac{5x}{2}(\cos \frac{3x}{2}+\cos \frac{x}{2})=0 \\
2\sin \frac{5x}{2}(2\cos 2x\cos x)=0\\
x= \frac{ \pi }{2}+k \pi \vee 2x= \frac{ \pi }{2}+k \pi \vee \frac{ 5\pi }{2}x= k \pi\\
.....}\)

skąd tutaj \(\displaystyle{ \frac{5 \pi }{2}?}\)

Ze wzoru na sumę sinusów. Może będzie trochę kształcące, jeśli pokażę taki śmieszny fakt, wykorzystywany na analizie I (trochę inne rozwiązanie).
otóż dla \(\displaystyle{ x \neq 2k\pi}\) mamy
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N}\sin(nx)= \frac{1}{\sin \frac x 2} \sum_{n=1}^{N}\sin \frac x 2 \sin(nx)=\\= \frac{1}{2\sin \frac x 2} \sum_{n=1}^{N}\left(\cos\left( \left( n-\frac 1 2\right)x \right)-\cos \left( \left( n+\frac 1 2\right)x \right) \right)= \frac{\cos \frac x 2-\cos\left( \left( N+\frac 1 2\right)x \right) }{2\sin \frac x 2}}\),
bo wyrazy w środku się "zjadają".
Wystarczy teraz podstawić \(\displaystyle{ N=4}\) i przypomnieć sobie kiedy \(\displaystyle{ \cos(\alpha)=\cos(\beta).}\)

Premislav pisze:Ze wzoru na sumę sinusów. Może będzie trochę kształcące, jeśli pokażę taki śmieszny fakt, wykorzystywany na analizie I (trochę inne rozwiązanie).
otóż dla \(\displaystyle{ x \neq 2k\pi}\) mamy
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N}\sin(nx)= \frac{1}{\sin \frac x 2} \sum_{n=1}^{N}\sin \frac x 2 \sin(nx)=\\= \frac{1}{2\sin \frac x 2} \sum_{n=1}^{N}\left(\cos\left( \left( n-\frac 1 2\right)x \right)-\cos \left( \left( n+\frac 1 2\right)x \right) \right)= \frac{\cos \frac x 2-\cos\left( \left( N+\frac 1 2\right)x \right) }{2\sin \frac x 2}}\),
bo wyrazy w środku się "zjadają".
Wystarczy teraz podstawić \(\displaystyle{ N=4}\) i przypomnieć sobie kiedy \(\displaystyle{ \cos(\alpha)=\cos(\beta).}\)

Możesz jaśniej? po przeniesieniu na druga strone zniknie \(\displaystyle{ \pi}\) co nie zgadza się z odpowiedzią.

kerajs pisze:
3.
\(\displaystyle{ \sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}= \sqrt{2}\sin x\\
\frac{1}{ \sqrt{2}} \sin \frac{x}{2}+ \frac{1}{ \sqrt{2}}\cos \frac{x}{2}=\sin x\\
\sin (x+ \frac{ \pi }{4} )=\sin x\\
\sin (x+ \frac{ \pi }{4} )-\sin x=0\\

...}\)

Co się stało z \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\)?

damianb543, mamy
\(\displaystyle{ -\cos\left(\left( n+\frac 12\right)x\right) +\cos\left(\left( n+1-\frac 12\right)x \right)=0}\)
i dlatego środkowe wyrazy się redukują. Nie wiem, o jakim znikającym \(\displaystyle{ \pi}\) piszesz. Kiedy
\(\displaystyle{ \cos \frac x 2=\cos \frac 9 2 x}\)??
Tylko jeszcze uważaj na ten mianownik, żeby się nie zerowal.-- 24 paź 2016, o 10:22 --Przypadek \(\displaystyle{ x=2k\pi, k \in \ZZ}\) rozpatrujesz oddzielnie, bo dla takich argumentów nie działa ta zwarta postać, no i dostajesz wtedy sumę zer, czyli zero, więc
\(\displaystyle{ x=2k\pi}\) też są rozwiązaniami.

damianb543 pisze:3.
\(\displaystyle{ \sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}= \sqrt{2}\sin x\\
\frac{1}{ \sqrt{2}} \sin \frac{x}{2}+ \frac{1}{ \sqrt{2}}\cos \frac{x}{2}=\sin x\\
\red \sin \left( \frac{x}{2}+ \frac{ \pi }{4} \right) =\sin x\\
\sin \left( \frac{x}{2}+ \frac{ \pi }{4} \right) -\sin x=0\\
2\sin \left( \frac{-x}{4}+ \frac{ \pi }{8} \right) \cos \left( \frac{3x}{4}+\frac{ \pi }{8} \right) =0 \\
\black
\frac{-x}{4}+ \frac{ \pi }{8}=k \pi \vee \frac{3x}{4}+ \frac{ \pi }{8}= \frac{\pi}{2}+k \pi\\
....}\)

W 3 wyszło mi \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}-4k \pi}\) i \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}+ \frac{4k \pi }{3}}\) w odpowiedziach jest tylko ta 2 odpowiedz.-- 13 lis 2016, o 10:12 --Może ktoś to rozwiązac i podac wynik bo nie zgadza mi sie z odpowiedzia.\(\displaystyle{ \sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin4x=0}\)

damianb543 pisze: W 3 wyszło mi \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}-4k \pi}\) i \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}+ \frac{4k \pi }{3}}\) w odpowiedziach jest tylko ta 2 odpowiedz.

To oczywiste gdyż pierwsza rodzina rozwiązań zawiera się w drugiej

damianb543 pisze: Może ktoś to rozwiązac i podac wynik bo nie zgadza mi sie z odpowiedzia.\(\displaystyle{ \sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin4x=0}\)

Ale masz już to rozwiązane. Pozostały Ci do zrobienia ostatnie przekształcenia. Mi wychodzi:
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4}+k \frac{ \pi }{2} \vee x=k \frac{2 \pi }{5}}\)

Takie cos mi wyszło \(\displaystyle{ 2\cos x(2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2})}\)
a z tego wyszło mi \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}+k \pi}\) \(\displaystyle{ x= \frac{2k \pi }{5}}\) \(\displaystyle{ x= \pi +2k \pi}\)

-- 13 lis 2016, o 15:45 --

Które jest dobre?



Mógłby ktoś rozwiązać taką równość:
\(\displaystyle{ \sin ^{2} x+\sin ^{2} 2x=\sin ^{2} 3x}\)

Przekształćmy to do postaci:
\(\displaystyle{ \sin^2 2x=\sin^2 3x-\sin^2 x}\)
Ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów mamy:
\(\displaystyle{ \sin^2 2x=(\sin 3x-\sin x)(\sin 3x+\sin x)}\)
Następnie używamy wzorów na różnicę i sumę sinusów, otrzymując:
\(\displaystyle{ \sin^2 2x=4\sin \frac{2x}{2} \cos \frac{4x}{2} \sin \frac{4x}{2} \cos \frac{2x}{2}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \sin^2 2x=4\sin x \cos x \sin 2x \cos 2x}\)
Po skorzystaniu ze wzoru na sinus podwojonego kąta:
\(\displaystyle{ \sin^2 2x=2\sin^2 2x \cos 2x}\)
Z tym już sobie powinieneś poradzić, albo \(\displaystyle{ \sin^2 2x=0}\), albo nie (trzeba rozważyć dwa przypadki) - w tym drugim przypadku po podzieleniu stronami mamy \(\displaystyle{ \cos 2x=\frac 1 2}\).

Mógłbys jeszcze rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin4x=0}\) mi wyszło \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}+k \pi}\) \(\displaystyle{ x= \frac{2k \pi }{5}}\) \(\displaystyle{ x= \pi +2k \pi}\)

To chyba można prościej zapisać.

Widzimy, że jeśli \(\displaystyle{ x=k\pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\), to dodajemy same zera, więc będzie OK.

Jeżeli \(\displaystyle{ x \neq k\pi}\), to korzystając ze wzoru, który wyprowadziłem, dostajemy
\(\displaystyle{ \cos \frac{x}{2}=\cos \frac{9}{2}x}\),
a to ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy
\(\displaystyle{ \frac{x}{2}=\frac 9 2 x+2k\pi \vee \frac x 2=-\frac 9 2 x+2k\pi}\), czyli
ostatecznie \(\displaystyle{ x=k\pi \vee x= \frac{k\pi}{2} \vee x= \frac{2}{5} k\pi, k \in \ZZ}\), ale
\(\displaystyle{ \left\{ k\pi: k \in \ZZ\right\} \subset \left\{ k \frac \pi 2: k \in \ZZ\right\}}\), więc można zapisać tylko
\(\displaystyle{ x=k\frac \pi 2 \vee x=\frac 2 5 k\pi, k \in \ZZ}\). Nie chce mi się myśleć, czy to jest to samo, co u Ciebie, ale najwyraźniej tak.

PS a może chociaż jakieś "dziękuję"?

Dzięki wielkie.-- 13 lis 2016, o 17:27 --

Premislav pisze:Przekształćmy to do postaci:
\(\displaystyle{ \sin^2 2x=\sin^2 3x-\sin^2 x}\)
Ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów mamy:
\(\displaystyle{ \sin^2 2x=(\sin 3x-\sin x)(\sin 3x+\sin x)}\)
Następnie używamy wzorów na różnicę i sumę sinusów, otrzymując:
\(\displaystyle{ \sin^2 2x=4\sin \frac{2x}{2} \cos \frac{4x}{2} \sin \frac{4x}{2} \cos \frac{2x}{2}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \sin^2 2x=4\sin x \cos x \sin 2x \cos 2x}\)
Po skorzystaniu ze wzoru na sinus podwojonego kąta:
\(\displaystyle{ \sin^2 2x=2\sin^2 2x \cos 2x}\)
Z tym już sobie powinieneś poradzić, albo \(\displaystyle{ \sin^2 2x=0}\), albo nie (trzeba rozważyć dwa przypadki) - w tym drugim przypadku po podzieleniu stronami mamy \(\displaystyle{ \cos 2x=\frac 1 2}\).

Mógłbyś to rozwiązać do końca? Może byc rowne 0 to nie mozna dzielic

Przecież napisałem, żeby rozważyć dwa przypadki.

1) \(\displaystyle{ \sin^2 2x=0,}\) czyli \(\displaystyle{ \sin 2x=0}\), tj. \(\displaystyle{ x=\frac k 2 \pi, k \in \ZZ}\)
2) \(\displaystyle{ \sin^2 2x \neq 0}\) - wtedy dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ \sin^2 2x}\)