Matematyka.pl

Jest sobie takie zgrabne równanie: \(\displaystyle{ \ctg{x}-2\sin2x=1}\) o równie zgrabnych rozwiazaniach.
Dość łatwo rozwiązuje się je poprzez tożsamość: \(\displaystyle{ \sin2x= \frac{2\tg{x}}{1+ \tg^{2}{x} } }\), która, niestety, nie jest dostępna w tzw. Tablicach Maturalnych.
Dodatkowo jedno z powstałych po drodze równań wygląda tak: \(\displaystyle{ \tg{x}=-1+ \sqrt{2} }\), co oczywiście daje \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{8} }\) + okres. Niestety, wartości takich kątów nie znajdziemy w Tablicach maturalnych.

Czy spróbuje ktoś rozwiązać to równanie (nazwijmy to) metodami elementarnymi? Tzn. przy użyciu wzorów i technik dostępnych w szkole średniej?

Skoro masz tę wiedzę, to czemu martwisz się o innych zdających? Na maturze pewnie chciałbyś być od nich "mądrzejszy", by mieć lepszy start w rekrutacji na studia!

Pozdrawiam
PS. Cytowane przez Ciebie rozwiązanie jest jak najbardziej "elementarne".

Takiej odpowiedzi się spodziewałem... niewiele w niej prawdy obiektywnej. Przykro mi...

Korzystając ze wzorów \(\displaystyle{ \sin(2x)=2\sin x\cos x}\), \(\displaystyle{ \ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}}\) oraz jedynki trygonometrycznej, równanie nietrudno przekształcić do

\(\displaystyle{ 4\cos^3 x -3 \cos x =\sin x}\)
\(\displaystyle{ \cos(3x)=\cos\left(\frac\pi2 -x\right)}\)

i dalej wiadomo.

O! i to wygląda świetnie ale znowu zahacza o wzór, którego nie ma w Tablicach Maturalnych. Przynajmniej nie trzeba szukać \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{8} }\) w bardzo starych tablicach trygonometrycznych. Dziękuję

Poświęciłem cały dzisiejszy ranek, ale udało mi się ominąć wzór na cosinus kąta potrojonego (ściślej: dojść do niego "od tyłu")

Matematyka nie polega na szukaniu wzorów w tablicach. Jeżeli masz w tablicach wzory na tangens sumy kątów to powinieneś umieć wyprowadzić wzór na tangens karta podwojonego.