Matematyka.pl

Dlaczego w równaniu \(\displaystyle{ \cos 3x = \cos (\frac{\pi}{2} - x)}\) nie można porównać po prostu \(\displaystyle{ 3x = \frac{\pi}{2} - x }\)? Próbowałam dopisać okres, czyli \(\displaystyle{ 3x = \frac{\pi}{2} - x +2k\pi}\), ale nadal wychodzi tylko jedno rozwiązanie, a powinny wyjść dwa.

Mamy na przykład \(\displaystyle{ \cos{(\pi/2)} = \cos{(3\pi/2)}}\), ale nieprawdą jest, że \(\displaystyle{ \pi/2 = 3\pi/2}\).

Jeżeli
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\cos\beta}\)
to
\(\displaystyle{ \alpha=\beta+k\cdot2\pi\vee \alpha=-\beta+k\cdot2\pi}\),
gdzie \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\)

Ale bezpieczniej różnicę kosinusów, w postaci iloczynowej, przyrównać do zera...

Pozdrawiam

Dlaczego bezpieczniej?

Jeżeli w programie matematyki szkoły ponadpodstawowej na poziomie podstawowym obowiązuje rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych, natomiast nie obowiązują wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych.

inusia146, spróbuj tak:

\(\displaystyle{ \cos 3x = \cos (\frac{\pi}{2} - x)}\)

\(\displaystyle{ \cos 3x - \cos (\frac{\pi}{2} - x)=0}\)

i teraz zastosuj wzór na różnicę cosinusów.

janusz47:
1) Na razie możemy mówić o szkole ponadgimnazjalnej, wymagania matury 2023 są wciąż dopracowywane...
2) równania z tego wątku nie nie nazwałbym prostym - to raczej poziom rozszerzony,
3) wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych zdający ma w "ściągawce" maturalnej
4) bezpieczniej, bo podany przeze mnie fakt musiałby zapamiętać...

Pozdrawiam

Łatwiej jest zapamiętać, że równanie elementarne \(\displaystyle{ \cos(\alpha) = a, \ \ |a|< 1, }\) którego rozwiązanie jest wymagane na poziomie podstawowym ,ma dwa rozwiązania niż wzór na różnicę kosinusów.

inusia146, popatrz:

\(\displaystyle{ \cos (\frac{\pi}{2} - x)= \sin x }\) - patrz wzory redukcyjne

Zatem

\(\displaystyle{ \cos 3x = \cos (\frac{\pi}{2} - x) \Leftrightarrow \cos 3x = \sin x}\)

Narysuj wykresy lewej i prawej strony równania i popatrz, gdzie się przecinają.

Dilectus pisze: 29 paź 2020, o 12:23\(\displaystyle{ \cos 3x = \cos (\frac{\pi}{2} - x) \Leftrightarrow \cos 3x = \sin x}\)

Narysuj wykresy lewej i prawej strony równania i popatrz, gdzie się przecinają.

No to jest świetny przykład zupełnie niepraktycznej rady.

JK

W wymaganiach na obecną (po gimnazjum) maturę podstawową - jedyne co można podciągnąć pod równanie trygonometryczne to ,,oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną albo korzystając z tablic lub kalkulatora - przybliżoną)."

Nie roztrząsajmy tego ,,kalkulatora".

Jan Kraszewski pisze: 29 paź 2020, o 13:26

Dilectus pisze: 29 paź 2020, o 12:23\(\displaystyle{ \cos 3x = \cos (\frac{\pi}{2} - x) \Leftrightarrow \cos 3x = \sin x}\)

Narysuj wykresy lewej i prawej strony równania i popatrz, gdzie się przecinają.

No to jest świetny przykład zupełnie niepraktycznej rady.

JK

Dlaczego tak uważasz?

Naprawdę uważasz, że radzenie osobie, które nie wie, że cosinus nie jest funkcją różnowartościową, by znajdowała punkty przecięcia wykresów niestandardowych funkcji (bo \(\displaystyle{ \cos 3x}\) nie jest standardowy) jest praktyczne?

JK

Tak, myślę, że posługując się programem do rysowania wykresów - np. programem Graph - osoba nie bardzo znająca funkcje trygonometryczne, może sobie wiele uzmysłowić, bo jak jest coś narysowane, to to coś widać, a to pomaga w zrozumieniu problemu, a w przypadku tego zadania pomaga oszacować położenie pierwiastków tego równania.
A osoba, która nie wie, że cosinus nie jest funkcją różnowartościową, może to wreszcie zobaczyć na własne oczy.