Równanie funkcyjne
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13436
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3429 razy
- Pomógł: 809 razy
Równanie funkcyjne
Wyznaczyć \(\displaystyle{ f}\) (o ile istnieją): \(\displaystyle{ f(f(x))+1 = x^2}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR.}\)
Ostatnio zmieniony 22 paź 2024, o 15:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja.
-
arek1357
Re: Równanie funkcyjne
Nic innego nie przychodzi mi do głowy oprócz tego:
\(\displaystyle{ ff(x)=x^2-1}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{m=0}^{ \infty } { \frac{1}{2} \choose m} \sum_{k=0}^{m} {m \choose k} \left( -1\right)^{m-k} g^{(k)}(x)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ g^{(k)}(x)}\) - \(\displaystyle{ k}\) krotne złożenie funkcji: \(\displaystyle{ g(x)=x^2-1}\)
\(\displaystyle{ ff(x)=x^2-1}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{m=0}^{ \infty } { \frac{1}{2} \choose m} \sum_{k=0}^{m} {m \choose k} \left( -1\right)^{m-k} g^{(k)}(x)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ g^{(k)}(x)}\) - \(\displaystyle{ k}\) krotne złożenie funkcji: \(\displaystyle{ g(x)=x^2-1}\)
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10305
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2429 razy
Re: Równanie funkcyjne
Wykażemy, że taka funkcja nie istnieje.
Niech \(\displaystyle{ w(x) = x^2-1}\). Jeśli \(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) spełnia \(\displaystyle{ f(f(x)) = w(x)}\), to \(\displaystyle{ f}\) zachowuje zbiory punktów stałych \(\displaystyle{ w}\) i \(\displaystyle{ w \circ w}\), tj. \(\displaystyle{ f[A] \subseteq A}\) i \(\displaystyle{ f[{B}] \subseteq B}\), gdzie
\(\displaystyle{ A = \{ x \in \mathbb{R} : w(x) = x \}, \\
B = \{ x \in \mathbb{R} : w(w(x)) = x \}.}\)
Pierwsze zawieranie wynika z tego że jeśli \(\displaystyle{ a \in A}\), tj. \(\displaystyle{ w(a) = a}\), to wtedy \(\displaystyle{ w(f(a)) = f(f(f(a))) = f(w(a)) = f(a)}\), czyli \(\displaystyle{ f(a) \in A}\). Drugiego zawierania dowodzimy analogicznie.
Rozwiązując dwa równania wielomianowe nietrudno sprawdzić, że \(\displaystyle{ A = \left\{ \varphi, -\frac{1}{\varphi} \right\}}\) i \(\displaystyle{ B = A \cup \{ -1, 0 \}}\), gdzie \(\displaystyle{ \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ 0 \overset{w}{\longmapsto} -1 \overset{w}{\longmapsto} 0}\) i \(\displaystyle{ f(f(x)) = w(x)}\), mamy \(\displaystyle{ 0 \overset{f}{\longmapsto} x \overset{f}{\longmapsto} -1 \overset{f}{\longmapsto} y \overset{f}{\longmapsto} 0}\) dla pewnych \(\displaystyle{ x, y \in \mathbb{R}}\). Na mocy poprzednich rozważań mamy \(\displaystyle{ x \in B}\). Jeśli jednak \(\displaystyle{ x \in A}\), to \(\displaystyle{ -1 = f(x) \in A}\), co jest nieprawdą. Również przypadki \(\displaystyle{ x = 0}\) i \(\displaystyle{ x=-1}\) szybko prowadzą do sprzeczności - zatem szukana funkcja nie istnieje.
Niech \(\displaystyle{ w(x) = x^2-1}\). Jeśli \(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) spełnia \(\displaystyle{ f(f(x)) = w(x)}\), to \(\displaystyle{ f}\) zachowuje zbiory punktów stałych \(\displaystyle{ w}\) i \(\displaystyle{ w \circ w}\), tj. \(\displaystyle{ f[A] \subseteq A}\) i \(\displaystyle{ f[{B}] \subseteq B}\), gdzie
\(\displaystyle{ A = \{ x \in \mathbb{R} : w(x) = x \}, \\
B = \{ x \in \mathbb{R} : w(w(x)) = x \}.}\)
Pierwsze zawieranie wynika z tego że jeśli \(\displaystyle{ a \in A}\), tj. \(\displaystyle{ w(a) = a}\), to wtedy \(\displaystyle{ w(f(a)) = f(f(f(a))) = f(w(a)) = f(a)}\), czyli \(\displaystyle{ f(a) \in A}\). Drugiego zawierania dowodzimy analogicznie.
Rozwiązując dwa równania wielomianowe nietrudno sprawdzić, że \(\displaystyle{ A = \left\{ \varphi, -\frac{1}{\varphi} \right\}}\) i \(\displaystyle{ B = A \cup \{ -1, 0 \}}\), gdzie \(\displaystyle{ \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ 0 \overset{w}{\longmapsto} -1 \overset{w}{\longmapsto} 0}\) i \(\displaystyle{ f(f(x)) = w(x)}\), mamy \(\displaystyle{ 0 \overset{f}{\longmapsto} x \overset{f}{\longmapsto} -1 \overset{f}{\longmapsto} y \overset{f}{\longmapsto} 0}\) dla pewnych \(\displaystyle{ x, y \in \mathbb{R}}\). Na mocy poprzednich rozważań mamy \(\displaystyle{ x \in B}\). Jeśli jednak \(\displaystyle{ x \in A}\), to \(\displaystyle{ -1 = f(x) \in A}\), co jest nieprawdą. Również przypadki \(\displaystyle{ x = 0}\) i \(\displaystyle{ x=-1}\) szybko prowadzą do sprzeczności - zatem szukana funkcja nie istnieje.