Matematyka.pl

Jak uzasadnić równość:

\(\displaystyle{ \left(\sin x-\cos x\right)^2-1=-\left(\sin x +\cos x\right)^2+1}\)

bez podnoszenia tego do kwadratu? Próbowałem ze wzoru na różnicę kwadratów, ale nie poszło.

Zauważ, że
\(\displaystyle{ (\sin x-\cos x)^2=1-\sin2x}\)

\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)^2= 1+\sin2x}\)

A jak mam to zauważyć? To przejście chyba wymaga jakiegoś wyjaśnienia (dodam, że wyjaśnienie z podniesieniem do kwadratu jest mi znane i nie o takie pytam).

`(s-c)^2+(s+c)^2=(s-c)^2+2(s-c)(s+c)+(s+c)^2 -2(s-c)(s+c)=(s-c+s+c)^2-2(s^2-c^2)...`

Niech \(\displaystyle{ f(x)=\left(\sin x-\cos x\right)^2-1}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=-\left(\sin x +\cos x\right)^2+1}\). Łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ f'=g'}\) zatem funkcje \(\displaystyle{ f}\) oraz \(\displaystyle{ g}\) są równe z dokładnością co do pewnej stałej którą łatwo wyznaczyć jako ich różnicę w konkretnym punkcie np.: \(\displaystyle{ x=0}\).

Janusz Tracz pisze: 17 kwie 2021, o 12:18 \(\displaystyle{ g}\) są równe z dokładnością co do pewnej stałej

Chcesz powiedzieć, że jeżeli Ty masz 100 a ja 200, to mamy tyle samo z dokładnością do pewnej stałej? Dużo lepiej jest powiedzieć, że różnią się o stałą.

a4karo pisze: 17 kwie 2021, o 12:11 `(s-c)^2+(s+c)^2=(s-c)^2+2(s-c)(s+c)+(s+c)^2 -2(s-c)(s+c)=(s-c+s+c)^2-2(s^2-c^2)...`

Genialne! O coś takiego mi właśnie chodziło. Dziękuję Wszystkim za pomoc.