Matematyka.pl

W podręczniku jest takie zadanie: "Rozwiąż równanie. Podaj najmniejszą liczbę z przedziału \(\displaystyle{ \left( 3; \infty \right)}\) spełniającą to równanie. No i właśnie chodzi o ten przedział, a mianowicie czy liczby zawarte w nim są wyrażone w rad. czy są to zwykłe wart. \(\displaystyle{ x}\)? Podejrzewam raczej, że to drugie gdyż jak założyłem sobie, że są to jednak rad. i chciałem zmienić je na \(\displaystyle{ \pi rad}\) tj. podzieliłem 3 przez \(\displaystyle{ \pi}\) i wychodził przedział: \(\displaystyle{ \left( \frac{3 \pi }{2}; \infty \right)}\) to wynik wychodził błędny.

A dlaczego uważasz, że liczba \(\displaystyle{ 3}\) nie jest wyrażona w radianach? Jeśli to równanie trygonometryczne, to oczywiście te "zwykłe wartości \(\displaystyle{ x}\)" to właśnie wartości w radianachh. Chyba, że czegoś nie rozumiem :V

Te ,,zwykłe" i radiany to to samo - więc niekonkretnie pytasz.

Rozpatrując funkcje trygonometryczne dowolnego kąta masz argumenty jako liczby rzeczywiste (dla Ciebie to te zwykłe) - po prostu nie mają jednostki (albo jak ktoś woli to radiany, ale je pomijamy).

Ponieważ dokładne rozwiązania równań znamy gdy te argumenty są niektórymi (niekoniecznie całkowitymi) wielokrotnościami liczby pi to kojarzysz je właśnie z tą liczbą.

W takim razie jeżeli są to radiany spróbujmy rozwiązać to równanie: \(\displaystyle{ \tg x = 1}\). Jeżeli \(\displaystyle{ 3 rad}\). zamienię na \(\displaystyle{ \pi rad}\) to uzyskam \(\displaystyle{ \frac{3 \pi }{2}}\) A najmniejsza wartość tego równania w tym przedziale to \(\displaystyle{ \frac{9 \pi }{4}}\) który jest wynikiem błędnym.

W takim razie jeżeli są to radiany spróbujmy rozwiązać to równanie

To jest jedno i to samo nie ma co tego rozgraniczać. Zobacz jak jest zdefiniowany radian

Jeżeli \(\displaystyle{ 3 rad}\). zamienię na \(\displaystyle{ \pi rad}\) to uzyskam \(\displaystyle{ \frac{3 \pi }{2}}\)

Nie. Jeśli \(\displaystyle{ 3 \text{rad}}\) wyrazisz w wielokrotnościach \(\displaystyle{ \pi}\) to dostaniesz \(\displaystyle{ \pi \cdot \frac{3}{ \pi } \text{rad}}\)

A co do równania to \(\displaystyle{ \tg x=1}\) gdy \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4}+k \pi}\) gdzie \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\). Jeśli interesują Cię tylko takie rozwiązanie jakie należą do \(\displaystyle{ (3,\infty)}\) to musimy ograniczyć zakres \(\displaystyle{ k}\) do liczb \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) bo już dla \(\displaystyle{ k=1}\) mamy że \(\displaystyle{ x>3}\) więc się łapie do przedziału \(\displaystyle{ (3,\infty)}\)

A najmniejszym najmniejszy jest \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4} +1 \cdot \pi= \frac{5 \pi }{4}}\)
Pamiętaj że \(\displaystyle{ \tg}\) ma okres podstawowy \(\displaystyle{ \pi}\) a nie \(\displaystyle{ 2 \pi}\). Bo chyba tu zrobiłeś błąd.

Jeżeli \(\displaystyle{ 3 rad}\). zamienię na \(\displaystyle{ \pi rad}\) to uzyskam \(\displaystyle{ \frac{3 \pi }{2}}\)

Nie. Jeśli \(\displaystyle{ 3 \text{rad}}\) wyrazisz w wielokrotnościach \(\displaystyle{ \pi}\) to dostaniesz \(\displaystyle{ \pi \cdot \frac{3}{ \pi } \text{rad}}\)

Faktycznie masz racje, nwm. jak moglem popelnić tak oczywisty błąd Co do samego równania to rozwiązałem wcześniej tak jak napisałeś, zastanawiałem się tylko czm. wychodzi źle po przemianie przedziału

Nie wiem co rozumiesz przez "przemienienie przedziału" jeśli mówisz o przedziale \(\displaystyle{ (3, \infty )}\) to ten przedział w radiacjach jest taki sam po raz kolejny odwołuje się do definicji \(\displaystyle{ \text{rad}}\) tego co już linkowałem i tego co już pisali przedmówcy. Podejrzewam że pomyliłeś się w okresie funkcji \(\displaystyle{ \tg}\) ale o tym już pisałem. Bo rozwiązaniem samego równania jest \(\displaystyle{ x_k=\frac{ \pi }{4}+k \pi}\). A rozwiązaniem całego zadania jest układ warunków :

\(\displaystyle{ x=\min\left\{ (3, \infty ) \cap \left\{\frac{ \pi }{4}+k \pi \right\}_{k\in\mathbb{Z} \right\}}}\)

Więc idąc po kolei zbiór

\(\displaystyle{ (3, \infty ) \cap \left\{\frac{ \pi }{4}+k \pi \right\}_{k\in\mathbb{Z} \right\}=\left\{\frac{ \pi }{4}+k \pi \right\}_{k\in\mathbb{N}\right\}}\)

dlatego bo \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}+k \pi>3}\) począwszy i włączywszy \(\displaystyle{ k=1}\). Teraz widać że ponieważ dla \(\displaystyle{ k=1,2,3,...}\) wyrażanie \(\displaystyle{ x_k=\frac{ \pi }{4}+k \pi}\) rośnie wobec czego

\(\displaystyle{ x=\min\left\{\left\{\frac{ \pi }{4}+k \pi \right\}_{k\in\mathbb{N}\right\} \right\}=x_1= \frac{ \pi }{4}+ \pi = \frac{5 \pi }{4}}\)