Matematyka.pl

Po moich długich obliczeniach wyszedł mi taki wynik:

sin(13x)=8192sin^13 x - 24064sin^11 x + 31488sin^9 x + 8960 sin^7 x - 128 sin^5 x - 518 sin^3 x +16sinx

(cos(x) + i*sin(x))^13 = cos(13x) + i*sin(13x) - z de Moivra



co z tym zrobić???????????????/Proszę o pomoc

Mam pewien pomysł, ale zamiast alfa podstawie x
sin(13x)=sin(16x-3x)=sin16xcos3x-cos16xsin3x.
Na sinus potrojonego kąta są wzory, a jesli chodzi o '16x', to zobacze ze w kolejnych posunieciach schodzisz do 8x , potem do 4x, nastepnie do 2x i tak az do x. Robota uciążliwa, ale chyba cos z tego wyjdzie

a mogę prosić o rozpisanie tego sin (16x)? bo nie wiem za bardzo o co Co chodzi ?????:]

sin16x=2sin8xcos8x

sin8x=2sin4xcos4x
cos8x=1-2sin^2(4x)

sin16x=4sin4xcos4x(1-2sin^2(4x))

sin^2(4x)=4sin^2(2x)cos^2(2x)
cos4x=1-2sin^2(2x)
sin4x=2sin2xcos2x

sin16x=8sin2xcos2x(1-2sin^2(2x))(1-4sin^2(2x)cos^2(2x))

sin2x=2sinxcosx
cos2x=2cos^2(x)-1

I do końcowego wzoru podstawiasz ten sin2x i cos2x

dzięki bardzo!!! A nie wiesz moze jak to rozwiazać metodą de ' Moivre'a??????????


(cos(x) + i*sin(x))^13 = cos(13x) + i*sin(13x) - z de Moivra


coś w tym stylu ale nei rozumiem :]

Ja dopiero w pażdzierniku zaczynam studia, więc nie znam jeszcze tej metody

wzor de movire'a to jest wlasnie ten, ktory podal ci gosc w pierwszej odpowiedzi:

i*i=-1

(cos(x) + i*sin(x))^13 - to wyliczasz z dwumianu newtona (a+b)^n
(cos(x) + i*sin(x))^13 = cos(13x) + i*sin(13x) - z de Moivra

no i przyrównujesz odpowiednie wartości

skoro (cos(x) + i*sin(x))^13 = cos(13x) + i*sin(13x) - wzor de Movire'a
a lewa strone mozna sobie policzyc stosujac wzor na potege sumy (dwumian Newtona):
(a+b)^n = (n PO 0)*a^n*b^0 + (n PO 1)*a^(n-1)*b^1 + ... + (n PO n)*a^(n-n)*b^n
to mozna sobie wyliczyc, pamietajac, ze i^2 = -1
liczysz z liczba i tak samo, jakby to byla jakas konkretna liczba np
sqrt(2)^0 = 1
sqrt(2)^1 = sqrt(2)
sqrt(2)^2 = 2
sqrt(2)^3 = 2*sqrt(2)
sqrt(2)^4 = 4
sqrt(2)^5 = 4*sqrt(2) ...
a z liczba i masz tak:
i^0 = 1
i^1 = i
i^2 = -1
i^3 = -i
i^4 = 1
i^5 = i ...
I jak masz teraz obie te strony rownania, po lewej rozwiniecie (cos(x) + isin(x))^13 a po prawej cos(13x) + isin(13x) to musisz wiedziec, ze jesli (to przyklad)
1789 + i*27990 = a +i*b to musi tak byc, ze a = 1789, a b = 27990, czyli
u nas bedzie tak, ze suma tego, co w rozwinieciu (z lewej strony) ma w sobie czynnik i to bedzie rowne temu, co z prawej strony ma czynnik i (czyli i*sin(13x), choć od razu mamy tez wartosc cos(13x) )
Uff, staralam sie mozliwie lopatologicznie, ale nie wiem, czy nie zamotalam bardziej

Przyklad dla n = 3
(cos(x) + isin(x))^3 = cos(3x) + isin(3x) (wzor de Movire'a)
Lewa strona z rozwiniecia Newtona:
(cos(x) + isin(x))^3 =
=(cos(x))^3 + 3(cos(x))^2*(isin(x)) + 3cos(x)*(isin(x))^2 + (isin(x))^3 =
= cos^3(x) +3icos^2(x)sin(x) + 3(i)^2cos(x)sin^2(x) + (i)^3sin^3(x) =
= cos^3(x) + 3icos^2(x)sin(x) - 3cos(x)sin^2(x) - isin^3(x) =
= cos^3(x) - 3cos(x)sin^2(x) + i(3cos^2(x)sin(x) - sin^3(x)) = (prawa strona)
= cos(3x) + isin(3x)
zatem
cos(3x) = cos^3(x) - 3cos(x)sin^2(x)
sin(3x) = 3cos^2(x)sin(x) - sin^3(x)

a czy mozna zamiast dwumianu Newtona użyć Trójkąta pascala?

to jest to samo... Trojkatem Pascala liczy sie "na piechote" wspolczynniki dwumianu Newtona...