Matematyka.pl

Witam,
jak udowodnić, że
\(\displaystyle{ 1-\frac{x^2}{2}\le \cos x}\)

Dla \(\displaystyle{ x>0}\) mamy \(\displaystyle{ \sin x \leq x}\). Zatem
\(\displaystyle{ \int_0^x \sin xdx\leq \int_0^x x dx}\) i już.

A bez całek: skoro \(\displaystyle{ |\sin t|\le |t|}\), to
\(\displaystyle{ \sin^2 \left( \frac x 2\right) \le \frac{x^2}4\\1-2\sin^2 \left( \frac x 2\right)\ge 1-\frac{x^2}2\\\cos x\ge 1-\frac{x^2}2}\)
c.n.d.

@Premislav

Specjalnie użyłem całek, bo to daje taki ładny ciąg nierówności
A nierówność `\sin x<x` wynika z całkowania nierówności `\cos x<1`.

A nierówność `\sin x>x-x^3/6` wynika z całkowania nierówności `\cos x >1-x^2/2`

całkując `\sin x>x-x^3/6` dostajemy `\cos x<1-x^2/2+x^4/24` itd...

A jak się wyjdzie od `\sin x<1`, to dostajemy oszacowanie z drugiej strony przez sumy częściowe szeregów Taylora. Stąd również dostajemy, że te oczasowania są baaaardzo dobre.

Thx Premislav za poprawę usterki