Narysuj wykres y=sin(arcsinx)
-
majkinek
- Użytkownik
- Posty: 83
- Rejestracja: 22 lis 2014, o 22:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 13 razy
Narysuj wykres y=sin(arcsinx)
Dziękuję , a co jeśli \(\displaystyle{ y=\cos \left( \arcsin x \right)}\)?
Ostatnio zmieniony 8 lis 2015, o 18:37 przez Afish, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
mllominski
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 14 lip 2024, o 17:50
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 23
Re: Narysuj wykres y=sin(arcsinx)
Cześć, zrobiłem filmik na ten temat. OPowi się już pewnie nie przyda, ale zostawiam na przyszłość:
https://www.youtube.com/watch?v=Uv6Qu4dT7AQ
Ostatnio zmieniony 14 lip 2024, o 20:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 8035
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1707 razy
Re: Narysuj wykres y=sin(arcsinx)
Tabela
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline
& \arcsin(x) & \arccos(x) & \arctg(x) & \arcctg(x) \\ \hline
\sin & x & \sqrt{1-x^2} & \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} & \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \\ \hline
\cos & \sqrt{1-x^2} & x & \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} & \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \\ \hline
\tg & \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} & \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} & x & \frac{1}{x} \\ \hline
\ctg & \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} & -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} & \frac{1}{x} & x \\ \hline
\end{tabular} }\)
Obliczmy na przykład \(\displaystyle{ \sin(\arccos(x)) }\)
Przyjmijmy \(\displaystyle{ \arccos(x) = u \leftrightarrow x = \cos(u) }\)
Wobec czego \(\displaystyle{ \sin(\arccos(x)) = \sin(u) }\)
Z jedynki trygonometrycznej \(\displaystyle{ \sin^2(u) + \cos^2(u) = 1.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \sin^2(u) +x^2 =1 \leftrightarrow \sin^2(u) = 1- x^2 \leftrightarrow \left( \sin(u) = \sqrt{1-x^2} \vee \sin(u) = -\sqrt{1-x^2}\right )}\)
Z tych dwóch wartości istnieje tylko jedna wartość prawdziwa.
\(\displaystyle{ \sin(\arccos(x)) }\) jako złożenie funkcji wzajemnie jednoznacznych jest funkcją.
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \arccos(x) \in [0, \pi], }\) a dla argumentu z takiego przedziału sinus przyjmuje wartości dodatnie.
Jest zatem \(\displaystyle{ \sin(\arccos(x)) = \sqrt{1 - x^2}.}\)
Podobnie rachując, możemy wypełniić powyższą tablicę wartości superpozycji funkcji.
Mając wzory i uwzględniając okresowość tych funkcji możemy rysować ich wykresy.
Dodano po 1 godzinie 12 minutach 5 sekundach:
Korekta
Siódmy wiersz od góry - słowo "Stąd" skreślamy.
Czwarty wiersz od dołu " zamiast sinus przyjmuje wartości dodatnie, powinno być sinus przyjmuje wartości nieujemne"
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline
& \arcsin(x) & \arccos(x) & \arctg(x) & \arcctg(x) \\ \hline
\sin & x & \sqrt{1-x^2} & \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} & \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \\ \hline
\cos & \sqrt{1-x^2} & x & \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} & \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \\ \hline
\tg & \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} & \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} & x & \frac{1}{x} \\ \hline
\ctg & \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} & -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} & \frac{1}{x} & x \\ \hline
\end{tabular} }\)
Obliczmy na przykład \(\displaystyle{ \sin(\arccos(x)) }\)
Przyjmijmy \(\displaystyle{ \arccos(x) = u \leftrightarrow x = \cos(u) }\)
Wobec czego \(\displaystyle{ \sin(\arccos(x)) = \sin(u) }\)
Z jedynki trygonometrycznej \(\displaystyle{ \sin^2(u) + \cos^2(u) = 1.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \sin^2(u) +x^2 =1 \leftrightarrow \sin^2(u) = 1- x^2 \leftrightarrow \left( \sin(u) = \sqrt{1-x^2} \vee \sin(u) = -\sqrt{1-x^2}\right )}\)
Z tych dwóch wartości istnieje tylko jedna wartość prawdziwa.
\(\displaystyle{ \sin(\arccos(x)) }\) jako złożenie funkcji wzajemnie jednoznacznych jest funkcją.
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \arccos(x) \in [0, \pi], }\) a dla argumentu z takiego przedziału sinus przyjmuje wartości dodatnie.
Jest zatem \(\displaystyle{ \sin(\arccos(x)) = \sqrt{1 - x^2}.}\)
Podobnie rachując, możemy wypełniić powyższą tablicę wartości superpozycji funkcji.
Mając wzory i uwzględniając okresowość tych funkcji możemy rysować ich wykresy.
Dodano po 1 godzinie 12 minutach 5 sekundach:
Korekta
Siódmy wiersz od góry - słowo "Stąd" skreślamy.
Czwarty wiersz od dołu " zamiast sinus przyjmuje wartości dodatnie, powinno być sinus przyjmuje wartości nieujemne"