Matematyka.pl

Wyznaczyć maksimum \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1+ \cos(x)}{2+ \sin(x)+ \cos(x)} }\).

\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{-1-\sin (x) - \cos(x)}{(2+ \sin(x)+ \cos(x))^2} }\)
z WK:
\(\displaystyle{ -1-\sin (x) - \cos(x)=0 }\)
mam:
\(\displaystyle{ f_{max}=f (\frac{- \pi }{2}+k2 \pi )=1 \\
f_{min}=f ( \pi +k2 \pi )=0 \\}\)

a zatam \(\displaystyle{ f \leq 1}\) (można i bez pochodnej...)

Bez rachunków można to zrobić tak:
Oznaczmy \(\displaystyle{ g(x)=\frac{1+ \cos(x)}{2+ \sin(x)+ \cos(x)}}\)

Oczywiście `f\ge 0, g\ge 0` i `f+g=1`
To znaczy, że minima `f` to maksima `g` i vice versa. Minima obu funkcji (równe zero) i punkty, w których występują, znajdujemy łatwo. Jeżeli dodać do tego, że `f(x)=g(\pi/2-x)`, to łatwo uzyskać ostateczny wynik

W określeniu g jest chyba sinus (bo inaczej \(\displaystyle{ f=g}\))....

Oczywiście

mol_ksiazkowy pisze: 21 lip 2024, o 19:09 można i bez pochodnej...

Inny przykład:
\(\displaystyle{ \frac{1+ \cos(x)}{2+ \sin(x)+ \cos(x)} = \frac{1}{ \frac{2+ \sin(x)+ \cos(x)}{1+ \cos(x)} }= \frac{1}{ 1+ \frac{1+ \sin(x)}{1+ \cos(x)} } = \left[ \frac{1}{ 1+ \frac{( \sin(x/2)+\cos(x/2))^2}{2 \cos^2(x/2)} }= \frac{1}{ 1+ (\frac{ \sin(x/2)+\cos(x/2)}{ \sqrt{2} \cos(x/2)})^2 } \right] \le \frac{1}{1+0}=1 }\).

Ale pojechałeś, kerajs
\(\displaystyle{ \frac{1+\cos x}{2+\sin x+\cos x}
=\frac{1+\cos x}{1+\cos x+1+\sin x}\le 1}\) z równością tylko wtedy gdy `1+\sin x=0`

ależ \(\displaystyle{ 1- f(x) = \frac{1+ \sin(x)}{2+\sin(x)+ \cos(x)} \geq 0 }\)