Wykaż nierówność z logarytmami.
-
paulina223
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 3 cze 2008, o 21:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Przeszów
- Podziękował: 2 razy
Wykaż nierówność z logarytmami.
Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ x>1,\ y>1 \ i \ z>1,}\) to \(\displaystyle{ \log _{x} z + \log _{y} z \ge 4 \cdot \log _{xy} z}\)
Ostatnio zmieniony 15 mar 2012, o 11:59 przez tometomek91, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2954
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 284 razy
- Pomógł: 500 razy
Wykaż nierówność z logarytmami.
\(\displaystyle{ 4 \cdot \log _{xy} z=\frac{4}{\log_{z}x +\log_{z}y}}\)
Ponieważ logarytmy te są dodatnie, to \(\displaystyle{ \log_{z}x +\log_{z}y \ge 2 \sqrt{\log_{z}x \cdot \log_{z}y}}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{4}{\log_{z}x +\log_{z}y} \le \frac{2}{ \sqrt{\log_{z}x \cdot \log_{z}y} }=2 \sqrt{ \log_{x} z \cdot \log_{y}z } \le \log _{x} z + \log _{y} z}\)
Ponieważ logarytmy te są dodatnie, to \(\displaystyle{ \log_{z}x +\log_{z}y \ge 2 \sqrt{\log_{z}x \cdot \log_{z}y}}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{4}{\log_{z}x +\log_{z}y} \le \frac{2}{ \sqrt{\log_{z}x \cdot \log_{z}y} }=2 \sqrt{ \log_{x} z \cdot \log_{y}z } \le \log _{x} z + \log _{y} z}\)