Matematyka.pl

Dane są liczby:

\(\displaystyle{ a = 3^{\log _{5} 7 } }\) oraz \(\displaystyle{ b = 49^{\log _{25} 15 } }\)

Wyznacz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{a}{b} }\)

Jak ruszyć z tym przykładem ?

Przykładowy początek:
\(\displaystyle{ a = 3^{\log _{5} 7 } =7^{\log_7 3^{\log _{5} 7 } }=7^{\log_57\log_73}=7^{\log_57 \frac{ \log_53}{\log_57 }} =7^{\log_53 } }\)
\(\displaystyle{ b = 49^{\log _{25} 15 } =7^{2 \cdot \frac{\log_515 }{\log_525} }=7^{\log_515} }\)

a jest jakiś prostszy początek ?

Mega to zarkęciłeś / aś ...

AZS06 pisze: ↑5 mar 2023, o 12:19 a jest jakiś prostszy początek ?

Ale to jest najprostszy początek, prowadzący bezpośrednio do rozwiązania (wystarczy podzielić i poprzekształcać). Czego innego oczekujesz?

W tego typu zadaniach trzeba mieć pomysł, sama znajomość wzorów nie wystarczy (choć jest niezbędna).

Do tych samych konkluzji możesz dojść tak:

Skoro \(\displaystyle{ a=3^{\log_57},}\) to \(\displaystyle{ \log_5a=\log_5\left( 3^{\log_57}\right)=\log_57\cdot\log_53=\log_5\left( 7^{\log_53}\right),}\) zatem \(\displaystyle{ a=7^{\log_53}.}\)

A drugie to wzór \(\displaystyle{ \log_{a^c}b=\frac{1}{c}\log_ab}\) i działania na potęgach.

JK

kerajs pisze: ↑5 mar 2023, o 12:00 Przykładowy początek:
\(\displaystyle{ a = 3^{\log _{5} 7 } =7^{\log_7 3^{\log _{5} 7 } }=7^{\log_57\log_73}=7^{\log_57 \frac{ \log_53}{\log_57 }} =7^{\log_53 } }\)
\(\displaystyle{ b = 49^{\log _{25} 15 } =7^{2 \cdot \frac{\log_515 }{\log_525} }=7^{\log_515} }\)

nie ma błędu przy b ?

nie powinno czasem byc :\(\displaystyle{ b = 7^{4 \log_5 15}}\) ?

AZS06 pisze: ↑5 mar 2023, o 12:38nie powinno czasem byc :\(\displaystyle{ b = 7^{4 \log_5 15}}\) ?

Nie, skąd ten pomysł?

JK

Jest ok. Pomyłka z mojej strony