Matematyka.pl

Dzień dobry,

w toku zadania dostaję równanie postaci \(\displaystyle{ e^{2x}- x^{2}-1 =0}\) Jak je rozwiązać?

Robiłem to tak, że zamieniłem sobie \(\displaystyle{ x^{2}}\) na \(\displaystyle{ e^{\ln x^{2}}}\) czyli \(\displaystyle{ e^{2\ln x} }\), a 1 zamieniłem sobie na \(\displaystyle{ e^{0}}\). Mam więc równanie \(\displaystyle{ e^{2x}-e^{2\ln x}=e^{0}}\). Podstawy potęg mam takie same, więc biorę \(\displaystyle{ 2x-2\ln x=0}\) i dalej \(\displaystyle{ x=\ln x}\). A to jest już jakieś nierozwiązywalne. Co robię źle? Jak zabrać się za to równanie? Odpowiedź ma wyjść na pewno 0 (sprawdzałem i w odpowiedziach i na wolframie).

Z góry dziękuję za pomoc.

Metoda graficzna - na jednym rysunku wykresy funkcji: \(\displaystyle{ y = e^{2x}, \\ y = x^2 +1.}\)

Ich wspólny punkt ma współrzędne...

kuomi pisze: 1 lis 2021, o 14:59Mam więc równanie \(\displaystyle{ e^{2x}-e^{2\ln x}=e^{0}}\). Podstawy potęg mam takie same, więc biorę \(\displaystyle{ 2x-2\ln x=0}\).

To jest niedobrze - co z tego, że podstawy są takie same?

JK

Żeby było jasne:
z `e^a=e^b` wynika, że `a=b`, ale z `e^a+e^b=e^c` nie wynika, że `a+b=c`. Tak samo jak z `e^a=-e^b` nie wynika, że `a=-b`

a4karo pisze: 1 lis 2021, o 16:38Tak samo jak z `e^a=-e^b` nie wynika, że `a=-b`

W liczbach rzeczywistych - wynika. ;P

Dasio11 pisze: 1 lis 2021, o 18:29

a4karo pisze: 1 lis 2021, o 16:38Tak samo jak z `e^a=-e^b` nie wynika, że `a=-b`

W liczbach rzeczywistych - wynika. ;P

Fakt