Matematyka.pl

\(\displaystyle{
\left( \sqrt{7+ \sqrt{48} } \right)^{x}+\left( \sqrt{7- \sqrt{48} } \right)^{x}=14
}\)
Czy podnosimy obustronnie do kwadratu?

Ja bym skorzystał z tego, że

\(\displaystyle{ 7\pm\sqrt{48}=(2\pm\sqrt3)^2}\)

oraz

\(\displaystyle{ 2+\sqrt 3=\frac{1}{2-\sqrt 3}.}\)

JK

Podstawienie `x=2t` zamienia równanie na takie:
\(\displaystyle{ f(t)=(7+\sqrt{48})^t +(7-\sqrt{48})^t =14}\)
skąd jedno rozwiązanie widać natychmiast.
Korzystając z tożsamości
`1=49-48=(7+\sqrt{48})(7-\sqrt{48})`
zbadaj funkcję `f` i pokaż, że jest jeszcze jedno rozwiązanie

\(\displaystyle{
\left( \sqrt{\left( 2+ \sqrt{3} \right)^{2} } \right)^{x} +\left( \sqrt{\left( 2- \sqrt{3} \right)^{2} } \right)^{x}=14\\
\left( 2+ \sqrt{3} \right)^{x}+ \left( 2- \sqrt{3} \right)^{x}=14\\
\frac{1}{\left( 2- \sqrt{3} \right)^{x}} +\left( 2- \sqrt{3} \right)^{x}=14.
}\)
Teraz mogę podstawienie zrobić?
\(\displaystyle{
t=\left( 2- \sqrt{3} \right)^{x},\\
\frac{1}{t}+t=14,\\ t \neq 0.\\


}\)

vip123 pisze: 2 paź 2025, o 07:35 Teraz mogę podstawienie zrobić?
\(\displaystyle{
t=\left( 2- \sqrt{3} \right)^{x},\\
\frac{1}{t}+t=14,\\ t \neq 0.}\)

Tak, ale \(\displaystyle{ t>0.}\)

JK