Matematyka.pl

1) \(\displaystyle{ \log_{3}( 3^{x}-8 )}=2-x}\)
2) \(\displaystyle{ 4-\log x=3 \sqrt{\log x}}\)

1)
\(\displaystyle{ log_{3}(3^x-8)=2-x , D = \{x \in \Re: 3^x>8 \} \Rightarrow \\
\Rightarrow log_{3}(3^x-8)=log_{3}(3^{2-x})\\
\Leftrightarrow3^x-8=3^{2-x}\\
\Rightarrow 3^x- \frac{3^2}{3^x}-8=0}\)

niech :
\(\displaystyle{ t=3^x \Rightarrow D_t = \Re_+ \\
\Rightarrow t- \frac{9}{t} -8=0\\
\Rightarrow \frac{t^2-8t-9}{t}=0 \Leftrightarrow t^2-8t-9=0 \\
\sqrt{\Delta}=10=>t_1=-1 \notin D_t \vee t_2=9 \in D_t\\
\Rightarrow 3^x = 9 \\
3^x=3^2}\)
z różnowartościowi funkcji wykładniczej mamy:
\(\displaystyle{ x=2 \in D, bo \\3^2>8}\)
Odp: x=2
2) za \(\displaystyle{ log x}\) podstawić zmienną pomocniczą t i podnieść obydwie strony równości do kwadratu - będziemy mieli równanie kwadratowe

hubertwojtowicz, równość \(\displaystyle{ 3^x-8=3^{2-x}}\) można uzyskać wprost z definicji logarytmu.
Stąd dalej \(\displaystyle{ 3^{2x}-8\cdot 3^x-9=0}\), tj. \(\displaystyle{ (3^x-9)(3^x+1)=0}\), więc mamy \(\displaystyle{ 3^x=9=3^2}\). To wobec różnowartościowości funkcji logarytmicznej daje \(\displaystyle{ x=2}\). Łatwo sprawdzamy, że \(\displaystyle{ 3^2-8=1>0}\), więc liczba 2 należy do dziedziny równania i jest jego rozwiązaniem.