Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ e^{ \frac{1}{e} } > \sqrt{2} }\)

Jest taka wersja nierówności Hermite-Hadamarda:
Jeżeli `f:[a,b]\to\RR` jest wypukła, to \(\displaystyle{ \int_a^b f(t)dt\le \frac12\left[f\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{f(a)+f(b)}{2}\right]}\)
Weźmy \(\displaystyle{ f=\frac{1}{1+x}, a=0, b=1}\).

\(\displaystyle{ \ln 2=\int_0^1 f(t)dt \le \frac12\left[\frac23+\frac34\right]=\frac{17}{24}<\frac2e}\), co jest równoważne wyjściowej nierówności

Dodano po 1 dniu 1 godzinie 47 minutach 14 sekundach:
Właśnie mi timon92 zwrócił uwagę na brak `1/{b-a}` przed całką. Dzięki

może też z \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{e} - \ln(x}\)) na \(\displaystyle{ [2,e]}\)...? a Inne pomysły