Udowodnić (z twierdzenia Lagrange'a i bez), że: \(\displaystyle{ \frac{x}{x+1} < \ln(x+1) < x }\) dla \(\displaystyle{ x>0}\).Ograniczenie logarytmu
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13393
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
Ograniczenie logarytmu
Udowodnić (z twierdzenia Lagrange'a i bez), że: \(\displaystyle{ \frac{x}{x+1} < \ln(x+1) < x }\) dla \(\displaystyle{ x>0}\).-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22461
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 3852 razy
Re: Ograniczenie logarytmu
Oczywiście tw. Lagrange'a zastosowane do funkcji `\log(1+x)` w przedziale `[1,x]` daje natychmiast żądany wynik.
Inny prosty dowód może wyglądac tak:
Dla `x>0` i `0<t<1` zachodzi
Nawiasem mówiąc funkcja \(\displaystyle{ h(t)=\frac{1}{1+tx}}\) jest wypukła, więc nierównośc Hermite-Hadamarda daje lepsze oszacowanie
Inny prosty dowód może wyglądac tak:
Dla `x>0` i `0<t<1` zachodzi
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x}<\frac{1}{1+tx}<1}\)
Całkujemy obie strony po `t` w przedziale `[0,1]` i dostajemy
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x}<\int_0^1 \frac{1}{1+tx} dt=\frac{\log(1+x)}{x}<1}\)
i jużNawiasem mówiąc funkcja \(\displaystyle{ h(t)=\frac{1}{1+tx}}\) jest wypukła, więc nierównośc Hermite-Hadamarda daje lepsze oszacowanie
\(\displaystyle{ \frac{2}{2+x}<\frac{\log(1+x)}{x}<\frac{2+x}{2+2x}}\)
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10305
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2429 razy
Re: Ograniczenie logarytmu
Raczej \(\displaystyle{ [0, x]}\) ?a4karo pisze: 3 sty 2024, o 14:10Oczywiście tw. Lagrange'a zastosowane do funkcji `\log(1+x)` w przedziale `[1,x]` daje natychmiast żądany wynik.
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22461
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 3852 razy
Re: Ograniczenie logarytmu
Jasne
Dodano po 27 minutach 27 sekundach:
Można też prostym różniczkowaniem pokazać, że funkcje `x-\log(1+x)` oraz `\log(1+x)-\frac{x}{1+x}` są rosnące
Dodano po 27 minutach 27 sekundach:
Można też prostym różniczkowaniem pokazać, że funkcje `x-\log(1+x)` oraz `\log(1+x)-\frac{x}{1+x}` są rosnące
Ostatnio zmieniony 4 sty 2024, o 06:32 przez admin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Usunięto cytowany tekst. Nie cytujemy całej treści postu, jeśli odpowiadamy bezpośrednio pod tym postem!
Powód: Usunięto cytowany tekst. Nie cytujemy całej treści postu, jeśli odpowiadamy bezpośrednio pod tym postem!